Иррациональные числа

Материал из Мегапедии
Перейти к: навигация, поиск

Иррациональными называются числа, которые представимы в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Обозначения

Введём обозначения:

N — множество натуральных чисел;

Z — множество целых чисел;

Q — множество рациональных чисел;

I — множество иррациональных чисел;

R — множество действительных (вещественных) чисел;

a0 — целая часть числа;

aj — цифра дробной части (мантиссы) числа, j>0;

a0,a1...an... — бесконечная непериодическая десятичная дробь.

Формулы:

ИЧ01.JPG,

где

РЧ02.JPG

Примеры:

Дополнение

Введём обозначения:

r, r1, r2 — рациональные числа;

Q1 — подмножество рациональных чисел — нижний класс сечения;

Q2 — подмножество рациональных чисел — верхний класс сечения;

supQ1 — верхняя граница множества Q1;

infQ2 — нижняя граница множества Q2;

Q1|Q2 — сечение множества рациональных чисел Q.

g=supQ1=infQ2 — действительное число — граница сечения;

Разбиением будем считать разделение множества всех рациональных чисел на два непустых подмножества. ИЧ10.JPG,

Сечением будем считать разбиение, имеющее следующие свойства: ИЧ11.JPG,

Иррациональные числа можно определить как подмножество не рациональных границ множества всех сечений множества рациональных чисел. ИЧ02.JPG

Другие числа:

Ссылки

  • Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1, М.: Физматлит, 207, стр.20.
  • Участник:Logic-samara