Комбинаторика

Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются некоторые операции над конечными множествами.

Определения:

Установленный в конечном множестве порядок расположения его элементов называется перестановкой.

Произвольные неупорядоченные подмножества данного конечного множества называются сочетаниями.

Упорядоченные подмножества данного конечного множества называются размещениями.

Произвольные неупорядоченные суммы натуральных слагаемых, равные самому числу, называются разбиениями.

Назовём распределениями числа – упорядоченные суммы с фиксированным количеством слагаемых (включая нулевые), равные самому числу.

Основные формулы без повторений

Введём обозначения:

n – число элементов конечного множества;

m – число элементов подмножества конечного множества из n элементов;

P_n – число перестановок из n элементов;

C^m_n – число сочетаний из n элементов по m элементов;

A^m_n – число размещений из n элементов по m элементов.

Следствия:

Основные формулы с повторениями

Введём обозначения:

r – число видов (повторяющихся) элементов множества;

n – число элементов конечного множества, равное (сумме) n₁+n₂+...+n_r;

m – число элементов подмножества конечного множества;

P_{n,n1,n2,...,nr} – число перестановок из n элементов с n₁ повторениями элементов 1-го вида, с n₂ повторениями элементов 2-го вида, ..., с n_r повторениями элементов r-го вида.

C^m_n,m – число сочетаний из n элементов по m элементов с возможными m повторениями;

A^m_n,m – число размещений из n элементов по m элементов с возможными m повторениями.

Следствия:

Основные операции:

• составление перестановок;
• составление сочетаний;
• составление размещений;
• составление разбиений;
• составление распределений.

Составление перестановок - это образование упорядоченных множеств, состоящее в установлении определённого порядка следования элементов множества друг за другом.

Составление сочетаний - это образование подмножеств, состоящее в выделении из данного множества некоторой части его элементов.

Составление размещений - это образование упорядоченных подмножеств, содержащих фиксированное число элементов исходного множества.

Составление разбиений - это разложение натурального числа на натуральные слагаемые, сумма которых равна самому числу.

Составление распределений - это разложение натурального числа на фиксированное число элементов (слагаемых, включая нулевые), сумма которых равна самому числу.

Операции с повторениями:

• составление перестановок с повторениями;
• составление сочетаний с повторениями;
• составление размещений с повторениями.

Составление перестановок с повторениями - это образование упорядоченных множеств, состоящее в установлении определённого порядка следования элементов множества друг за другом с учётом их повторений.

Составление сочетаний с повторениями - это образование подмножеств, содержащих фиксированное число элементов исходного множества с учётом их повторений.

Составление размещений с повторениями - это образование упорядоченных подмножеств, содержащих фиксированное число элементов исходного множества с учётом их повторений.

Для осуществления комбинаторных операций используются комбинаторные алгоритмы.

Ссылки

• Халамайзер А. Я. Комбинаторика и бином Ньютона, «Просвещение», М.,1980.
• Участник:Logic-samara