Комбинированный метод

Комбинированный метод (метод хорд и касательных) - это численный метод нахождения (одного) решения x (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Описание метода

Суть комбинированного метода состоит в разбиении отрезка [a,b] (при условии f(a)f(b)<0) на три отрезка с помощью хорды и касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения хорды с осью абсцисс до точки пересечения касательной с осью абсцисс, на котором функция меняет знак и содержит решение.

Построение хорд и касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.

Комбинированный метод применим для решения уравнения вида f(x)=0 на отрезке [a,b], если ни одна точка отрезка [a,b] не является ни стационарной, ни критической, т.е. f’(x)≠0 и f”(x)≠0.

Условие начальной точки для метода хорд f(x)f”(x)<0.

Условие начальной точки для метода касательных f(x)f”(x)>0.

Сначала находим отрезок [a,b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, т.е. f(a)f(b)<0.

Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения

Входные данные: f(x), f’(x), f”(x), a, b, ε.

Выходные данные: x.

Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Если f(x)=0, то x - точное решение.

Другие методы:

• метод деления отрезка пополам;
• комбинированный метод;
• метод итераций;
• метод касательных;
• метод хорд;
• универсальный метод итераций.

• Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Ссылки

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
• Участник:Logic-samara