Метод касательных

Метод касательных (метод Ньютона) — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Описание метода

Суть метода касательных состоит в разбиении отрезка [a,b] (при условии f(a)f(b)<0) на два отрезка с помощью касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения касательной с осью абсцисс до неподвижной точки, на котором функция меняет знак и содержит решение, причём подвижная точка приближается к ε-окрестности решения.

Построение касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.

Метод касательных применим для решения уравнения вида f(x)=0 на отрезке [a,b], если ни одна точка отрезка [a,b] не является ни стационарной, ни критической, то есть f’(x)≠0 и f"(x)≠0.

Условие неподвижной точки для метода касательных f(x)f"(x)<0.

Условие начальной точки для метода касательных f(x)f"(x)>0.

Сначала находим отрезок [a,b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b)<0. Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения

Входные данные: f(x), f’(x), f"(x), a, b, ε.

Выходные данные: x.

Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Если f(x)=0, то x — точное решение.

• Заметим, что обобщением метода касательных является метод Ньютона, используемый для решения систем нелинейных уравнений.

Другие методы:

• метод деления отрезка пополам;
• комбинированный метод;
• метод итераций;
• метод касательных;
• метод хорд;
• универсальный метод итераций.

• Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Ссылки

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
• Участник:Logic-samara