Метод простых итераций

Метод простых итераций — это численный метод решения системы линейных уравнений вида Ax=b с заданной точностью ε.

Описание метода

Суть метода простых итераций состоит в расчётах новой точки x по старой точке. Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.

Алгоритм решения

Входные данные: A, b, ε.

Выходные данные: x.

Для решения методом простых итераций системы линейных уравнений вида Ax=b (где A — квадратная матрица nxn коэффициентов системы, а b — вектор свободных членов системы), сначала найдём главный определитель системы Δ.

Метод простых итераций применим (то есть метод сходится), если главный определитель системы Δ≠0 и выполняются условия одного из двух случаев:

1) когда хотя бы одна из норм матрицы B=E-A меньше 1:

2) когда все собственные значения матрицы B=E-A по модулю меньше 1.

Для проверки условий 2-го случая необходимо определить величину λ=max{|λ₁|,|λ₂|,…,|λ_n|}, где λ₁,λ₂,…,λ_n — собственные значения матрицы B, и проверить условие λ<1.

Как правило, матрица B=E-A удовлетворяет указанным условиям, когда на главной диагонали матрицы A находятся доминирующие элементы a_ii;

Доминирующим элементом a_ii называется элемент удовлетворяющий неравенству:

• Заметим, что модификацией метода простых итераций является метод Зейделя.

Другие методы:

• метод Крамера;
• метод обратной матрицы;
• метод неполного решения;
• метод Гаусса;
• метод простых итераций;
• метод Зейделя.

• Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Ссылки

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
• Участник:Logic-samara