Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами — это уравнения вида ay^’’+by^’+cy=f(x) (с правой частью).

Обозначения

Введём обозначения:

x – переменная – аргумент функции;

y – переменная – функция;

a, b, c – постоянные коэффициенты;

y^’ – производная функции;

y^’’ – вторая производная функции;

f(x) – правая часть в дифференциальном уравнении.

Дифференциальное уравнение

– характеристическое уравнение

– корни характеристического уравнения.

Возможны три случая для корней характеристического уравнения:

• r₁≠r₂ - два действительных неравных корня при b²>4ac;
• r₁=r₂ - два действительных равных корня при b²=4ac;
• r_1,2=α±βi - два сопряжённых комплексных корня при b²<4ac.

Введём дополнительные обозначения.

k – кратность корня в характеристическом уравнении;

P_n(x), Q_n(x) – многочлены n-степени.

Общее решение

Другие дифференциальные уравнения:

• с разделяющимися переменными;
• однородное;
• линейное;
• уравнение Бернулли;
• уравнение в полных дифференциалах;
• уравнение Клеро;
• уравнение второго порядка, не содержащее y и y^’;
• уравнение второго порядка, не содержащее y;
• уравнение второго порядка, не содержащее x;
• однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
• неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
• уравнение n-ого порядка, содержащее только переменную x;
• однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
• неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
• общее дифференциальное уравнение.

Ссылки

• Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. М. Наука, 1973, стр.569.
• Участник:Logic-samara