Дробно-рациональная функция

Дробно-рациональная функция − это функция, равная отношению двух многочленов.

Дробно-рациональные функции

Обозначения

f(x) — дробно-рациональная функция;

f_прав(x) — правильная рациональная дробь;

f_неправ(x) — неправильная рациональная дробь;

P_m(x) — многочлен степени m;

P_n-1(x) — многочлен степени n-1;

Q_n(x) — многочлен степени n;

R_m-n(x) — многочлен степени m-n при m≥n;

a_j, b_j, c_j, x₀ — коэффициенты.

Вид функции

Определения

Дробно-рациональная функция называется правильной рациональной дробью, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m<n.

Дробно-рациональная функция называется неправильной рациональной дробью, если степень числителя не меньше степени знаменателя, т.е. m≥n.

Правильная рациональная дробь называется простейшей в двух случаях:

если числитель — число A, а знаменатель — двучлен в степени вида (x-a)^k, где k — натуральное число;

если числитель — двучлен вида Mx+N, а знаменатель — трёхчлен в степени вида (x²+px+q)^r, где r — натуральное число и p²<4q.

Свойства функции

Дробно-рациональная функция P_m(x)/Q₁(x)

Дробно-рациональная функция P_m(x)/Q_n(x)

Теорема

Если знаменатель правильной рациональной дроби представим в виде произведения ,

то дробно-рациональная функция представима в виде суммы простейших рациональных дробей в виде:

, где .

Другие функции:

• многочлен;
• дробно-рациональная функция;
• специальные функции;
• интегральный синус;
• интегральный косинус;
• интегральная показательная функция;
• интегральный логарифм;
• гамма-функция;
• бета-функция;
• неполная гамма-функция;
• неполная бета-функция.