Площадь арки циклоиды

Циклоида

Площадь арки циклоиды — это число, характеризующее арку (или часть арки) циклоиды в единицах измерения площади.

Циклоида — это линия, описываемая точкой окружности, когда последняя катится без скольжения по прямой линии (направляющей) (например, по оси абсцисс).

Арка циклоиды — это область, ограниченная циклоидой и осью абсцисс при 0≤x≤2π.

Рассмотрим арки циклоиды при 0≤t≤2π.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x=R(t-sint) — параметрическое уравнение абсциссы циклоиды;

y=R(1-cost) — параметрическое уравнение ординаты циклоиды;

S_цикл — площадь арки (или части арки) циклоиды.

Формула

• Площадь полной (от 0 до 2π) арки циклоиды равна площади трёх производящих кругов, S_{арк.цикл}=3πR².

Вывод формулы

• Для вывода используется формула "площадь плоской фигуры" в параметрической форме.

Другие фигуры:

• плоская фигура;
• круг;
• сегмент круга;
• сектор круга;
• сегмент правильного многоугольника;
• сектор правильного многоугольника;
• серп;
• сегмент параболы;
• эллипс;
• сегмент эллипса;
• сектор эллипса;
• серп эллипса;
• сегмент гиперболы;
• арка синусоиды;
• арка косинусоиды;
• фигура, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
• фигура, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
• арка циклоиды;
• сектор кардиоиды;
• фигура, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
• фигура, ограниченная трактрисой и осью абсцисс;
• сектор лемнискаты Бернулли.

Ссылки

• Участник:Logic-samara