Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью

Одноканальная замкнутая СМО с очередью

Одноканальная замкнутая СМО с очередью — это система массового обслуживания, в которой есть фиксированное число источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в "число источников"-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда канал свободен, то она немедленно поступает на обслуживание каналом. Если заявка приходит, в момент, когда канал занят, то она становится в очередь и ожидает освобождения канала, который её может обслужить.

Описание модели

На вход одноканальной СМО с m-очередью поступает поток заявок от (m+1)-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания канала μ.

Если заявка застаёт канал свободным, то она принимается на обслуживание и обслуживается каналом.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если заявка застаёт канал занятым, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается.

Максимальное число мест в очереди m.

Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/1/m/m+1 – Одноканальная замкнутая СМО с очередью

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, канал свободен;

S₁ – в системе имеется одна заявка, она обслуживается каналом;

S₂ – в системе имеется две заявки, одна обслуживается каналом, а другая заявка ожидает в очереди;

…;

S₀ – в системе нет ни одной заявки, канал свободен, (m+1)-источников заявок;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом, очереди нет, m-источников заявок;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, 1-заявка обслуживается 1-каналом, 1-заявка в очереди, (m-1)-источников заявок;

…;

S_i-1 – в системе имеется (i-1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, (i-2)-заявок в очереди, (m-i+2)-источников заявок;

S_i – в системе имеется i-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, (i-1)-заявок в очереди, (m-i+1)-источников заявок;

S_i+1 – в системе имеется (i+1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, i-заявок в очереди, (m-i)-источников заявок;

…;

S_m-1 – в системе имеется (m-1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а (m-2)-заявок в очереди, 2-источника заявок;

S_m – в системе имеется m-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а (m-1)-заявок в очереди, 1-источник заявок;

S_m+1 – в системе имеется (m+1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а m-заявок в очереди, источников заявок нет.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,m+1), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p₀,p₁,…,p_m+1.

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

Другие одноканальные СМО:

• Одноканальная СМО без очереди;
• Одноканальная СМО с m-очередью;
• Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
• Одноканальная СМО с бесконечной очередью;
• Одноканальная СМО замкнутая без очереди;
• Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью;
• Одноканальная СМО замкнутая без очереди и с k источниками;
• Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k источниками.

Ссылки

• Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, М.,1969.