Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k-источниками

Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k-источниками

Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k-источниками — это система массового обслуживания, в которой есть 1-канал, m-мест в очереди, k-источников заявок (k>m+1). Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в k-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда канал свободен, то она немедленно поступает на обслуживание каналом. Если заявка приходит, в момент, когда канал занят, то она встаёт в очередь. Максимальное число заявок в системе равно числу мест в очереди плюс 1.

Описание модели

На вход 1-канальной СМО поступает поток заявок от k-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт канал свободным, то она принимается на обслуживание и обслуживается.

После окончания обслуживания канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе канал занятым, то она принимается в очередь и ждёт обслуживания.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе канал занятым, и все места в очереди занятыми, то она игнорируется данной системой. Заявки дополнительных источников не обслуживаются в данной системе, и «восстанавливаются» другими системами.

Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/1/m/k – Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k-источниками.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, канал свободен, k-источников заявок;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом, очереди нет, (k-1)-источников заявок;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, 1-заявка обслуживается 1-каналом, 1-заявка в очереди, (k-2)-источников заявок;

…;

S_m-1 – в системе имеется (m-1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, (m-2)-заявок в очереди, (k-m+1)-источников заявок;

S_m – в системе имеется m-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, (m-1)-заявок в очереди, (k-m)-источников заявок;

S_m+1 – в системе имеется (m+1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, m-заявок в очереди, (k-m-1)-источников дополнительных, заявки которых не обслуживаются.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,m+1), получаем упрощённый вид системы.

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁,p₂,…,p_m+1.

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

Другие одноканальные СМО:

1. Одноканальная СМО без очереди;
2. Одноканальная СМО с m-очередью;
3. Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
4. Одноканальная СМО с бесконечной очередью;
5. Одноканальная СМО с бесконечной очередью и с убывающим потоком заявок;
6. Одноканальная СМО замкнутая без очереди;
7. Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью;
8. Одноканальная СМО замкнутая без очереди и с k-источниками;
9. Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k-источниками.