Одноканальная СМО с бесконечной очередью и с убывающим потоком заявок

Одноканальная СМО с бесконечной очередью и с убывающим потоком заявок

Одноканальная СМО с бесконечной очередью и с убывающим потоком заявок — это система массового обслуживания, в которой всегда есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда канал занят, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить, при этом поток заявок убывает с увеличением числа заявок в системе.

Описание модели

На вход одноканальной СМО с бесконечной очередью поступает простейший поток заявок с переменной интенсивностью, для i-го состояния интенсивность потока заявок λ/(i+1).

Интенсивность простейшего потока обслуживания канала μ.

Если заявка застаёт канал свободным, то она принимается на обслуживание и обслуживается каналом. После окончания обслуживания канал освобождается.

Если заявка застаёт канал занятым, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается.

Число мест в очереди не ограничено.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/1/∞ – Одноканальная СМО с бесконечной очередью и убывающим потоком заявок.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, канал свободен;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, 1-заявка обслуживается 1-каналом, 1-заявка ожидает в очереди;

…;

S_i-1 – в системе имеется (i-1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а (i-2)-заявок ожидают в очереди;

S_i – в системе имеется i-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а (i-1)-заявок ожидают в очереди;

S_i+1 – в системе имеется (i+1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, а i-заявок ожидают в очереди;

….

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,∞), получаем упрощённый вид системы.

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁,p₂,…,p_i-1,p_i,p_i+1,….

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

Другие одноканальные СМО:

• Одноканальная СМО без очереди;
• Одноканальная СМО с m-очередью;
• Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
• Одноканальная СМО с бесконечной очередью;
• Одноканальная СМО с бесконечной очередью и с убывающим потоком заявок;
• Одноканальная СМО замкнутая без очереди;
• Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью;
• Одноканальная СМО замкнутая без очереди и с k-источниками;
• Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k-источниками.

Ссылки

• Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.117-118.