Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания

Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания

Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания — это система массового обслуживания с очередью, в которой "нетерпеливая" заявка может уйти из очереди, не дождавшись обслуживания. При обслуживании заявка тоже проявляет «нетерпение». Максимальное число заявок в системе равно числу мест в очереди плюс 1.

Обозначения

n – число каналов обслуживания, n=1;

m – число мест в очереди;

λ – интенсивность простейшего потока заявок;

μ – интенсивность простейшего потока обслуживания ;

η – интенсивность простейшего потока уходов заявки с обслуживания;

ν – интенсивность простейшего потока уходов заявки из очереди.

Описание модели

На вход одноканальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания канала μ.

Если заявка застаёт канал свободным, то она принимается на обслуживание и обслуживается каналом. При этом заявка проявляет «нетерпение». После окончания обслуживания канал освобождается.

Если заявка застаёт канал занятым, то она становится в очередь и "нетерпеливо" (в пределах ограниченного времени ожидания) ждёт своего обслуживания, иначе заявка уходит из очереди и исключается из обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/1/m – Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, канал свободен;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом. При обслуживании заявка проявляет «нетерпение»;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, 1-заявка обслуживается 1-каналом, 1-заявка "нетерпеливо" ожидает в очереди;

…;

S_m-1 – в системе имеется (m-1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, (m-2)-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;

S_m – в системе имеется m-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, (m-1)-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;

S_m+1 – в системе имеется (m+1)-заявок, 1-заявка обслуживается 1-каналом, m-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,m+1), получаем упрощённый вид системы.

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁,p₂,…,p_m+1.

В результате получаем решение системы:

Другие одноканальные СМО:

1. Одноканальная СМО без очереди;
2. Одноканальная СМО без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
3. Одноканальная СМО без очереди и со случайным результатом обслуживания;
4. Одноканальная СМО с m-очередью;
5. Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
6. Одноканальная СМО с m-очередью и со случайным результатом обслуживания;
7. Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
8. Одноканальная СМО с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания;
9. Одноканальная СМО с бесконечной очередью;
10. Одноканальная СМО с бесконечной очередью и с убывающим потоком заявок;
11. Одноканальная СМО замкнутая без очереди;
12. Одноканальная СМО замкнутая без очереди и с k-источниками;
13. Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью;
14. Одноканальная СМО замкнутая с m-очередью и с k-источниками.