Локальная теорема Лапласа

Локальная теорема Лапласа — локальная теорема, предложенная Лапласом.

Если при каждом из независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события постоянна, то вероятность появления события фиксированное число раз подчинена биномиальному закону, а при достаточно большом числе испытаний биномиальный закон асимптотически приближается к нормальному закону, поэтому вероятность появления события фиксированное число раз приближённо равна значению (площади «столбика» на единичном отрезке) функции плотности вероятности нормального закона (стандартизованной случайной величины).

Обозначения

X — число появлений случайного события;

p — вероятность появления случайного события;

q — вероятность противоположного события, причём q=1-p;

n — число испытаний;

m — число появлений события;

np — средняя — математическое ожидание числа появлений события X;

npq — дисперсия числа появлений события X;

P_n(X=m) — вероятность появлений события ровно m раз при n испытаниях;

— локальная функция Лапласа, совпадает с функцией плотности вероятности нормального закона для стандартизованной случайной величины, т.е. f(x)=φ(x).