Площадь сектора кардиоиды

Кардиоида

Площадь сектора кардиоиды — это число, характеризующее сектор кардиоиды в единицах измерения площади.

Сектор кардиоиды — это часть кардиоиды, отсекаемая двумя прямыми (радиусами), проходящими через начало координат оси симметрии.

Рассмотрим сектора кардиоиды при -π≤φ≤π.

Содержание

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки;

y₁ — ордината первой точки;

φ₁ — угол (меньший) первой точки;

x₂ — абсцисса второй точки;

y₂ — ордината второй точки;

φ₂ — угол (больший) второй точки;

R — радиус производящей окружности;

φ — независимая переменная;

r=2R(1+cosφ) — уравнение кардиоиды в полярных координатах;

t — параметрическая переменная;

x=2Rcost(1+cost) — параметрическое уравнение абсциссы кардиоиды;

y=2Rsint(1+cost) — параметрическое уравнение ординаты кардиоиды;

S_{сект.кард} — площадь сектора кардиоиды.

Площадь полной (от -π до π) кардиоиды равна площади шести производящих кругов, S_кард=6πR².

Для вывода используется формула "площадь плоской фигуры" в полярных координатах.