Метод Грама-Шмидта

Метод Грама-Шмидта — это способ ортогонализации системы линейно-независимых векторов.

Ортогонализация

Описание метода

Суть метода Грама-Шмидта состоит во взятии первого ортогонального вектора равным первому исходному вектору и построении каждого нового ортогонального вектора равным текущему исходному вектору, скорректированному на величины проекций текущего вектора на предыдущие ортогональные векторы.

Исходная система линейно-независимых векторов имеет вид:

Алгоритм решения

Основные формулы в векторном виде.

Основные формулы в координатном виде.

Система ортогональных векторов принимает вид:

Процесс ортогонализации можно выразить в матричном виде.

Для этого проведём подготовительные расчёты.

где верны равенства:

Процесс ортогонализации превращается в обычное умножение матриц.

Пример решения

Дана система векторов:

Ортогонализируем систему векторов методом Грама-Шмидта.

В результате получаем ортогональную систему векторов:

Для решения с помощью матриц проведём подготовительные расчёты.

Ортогонализируем систему векторов умножением матриц.

Другие операции:

• нахождение длины вектора;
• умножение вектора на число;
• возведение в квадрат координат вектора;
• извлечение корня из координат вектора;
• сложение векторов;
• вычитание векторов;
• умножение координат векторов;
• деление координат векторов;
• скалярное произведение;
• векторное произведение;
• смешанное произведение;
• двойное векторное произведение;
• нахождение угла между векторами;
• ортогонализация векторов.

Численные методы:

• решение уравнений;
• решение систем уравнений;
• ортогонализация;
• решение дифференциальных уравнений;
• аппроксимация;
• интерполяция;
• численное интегрирование;
• нахождение экстремумов.

Ссылки

• Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, стр. 65.