Неравенство Коши

Неравенство Коши

Неравенство Коши – среднее арифметическое n положительных чисел не меньше их среднего геометрического.

Обозначения

n – число чисел;

a_i – i-ое положительное число;

b_i – это число равное ln a_i.

Формула неравенства

• Равенство имеет место только в том случае, когда все a_i равны между собой.

Доказательство 1

1.Докажем неравенство при k=2.

т.е. неравенство верно при k=2.

2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n и k=2, и доказываем неравенство для k=2n.

т.е. неравенство верно при k=2n.

3.Доказательство индукцией вниз. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=n-1.

т.е. неравенство верно при k=n-1, ч.т.д.

• Идея доказательства общеизвестна, мне о ней рассказал в 1973 году В. Г. Евстигнеев - преподаватель математики МИЭИ им. С. Орджоникидзе.

Доказательство 2

1.Докажем неравенство при k=2.

т.е. неравенство верно при k=2.

2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n-1, и доказываем неравенство для k=n.

т.е. неравенство верно при k=n, ч.т.д.

• Автор идеи доказательства Э.Якобсталь, при доказательстве используется неравенство n-степени числа.

Доказательство 3

Т.к. функция lnx является функцией выпуклой вверх, то к ней применимо соответствующее неравенство Йенсена.

• Идея доказательства сформулирована в Википедии.

Следствия

Другие неравенства:

• неравенство n-степени числа;
• неравенство Йенсена;
• неравенство Коши;
• неравенство p-ичных средних;
• обобщённое неравенство средних;
• неравенство взвешенных p-ичных средних;
• неравенство Коши-Буняковского;
• интегральное неравенство Коши-Буняковского;
• неравенство Минковского;
• обобщённое неравенство Минковского;
• интегральное неравенство Минковского;
• неравенство Гёльдера;
• обобщённое неравенство Гёльдера;
• интегральное неравенство Гёльдера;
• неравенство Фань Цзы;
• неравенство Маркова;
• неравенство Чебышёва.

Ссылки

• Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, стр.158.
• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.24.