Неравенство Коши-Буняковского

Материал из Мегапедии
Перейти к: навигация, поиск
Неравенство Коши-Буняковского

Неравенство Коши-Буняковского – сумма попарных произведений n чисел с другими n числами не больше произведения корней из сумм квадратов этих чисел.

Обозначения

n – число чисел;

aii-ое число;

bii-ое число.

Формула неравенства

НКБ01.png

  • Если множества чисел {ai} и {bi} считать векторами n-мерного пространства, то неравенство Коши-Буняковского означает, что скалярное произведение векторов не более произведения их длин (модулей, норм).

Доказательство

1.Докажем неравенство при k=2.

НКБ11.png

т.е. неравенство верно при k=2.

2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n и k=2, и доказываем неравенство для k=2n.

НКБ12.png

т.е. неравенство верно при k=2n.

3.Доказательство индукцией вниз. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=n-1.

НКБ13.png

т.е. неравенство верно при k=n-1, ч.т.д.

Следствие

НКБ02.png

Другие неравенства:

Ссылки

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.