Неравенство r-степени числа — различия между версиями
м |
м |
||
| (не показано 9 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 2: | Строка 2: | ||
'''Неравенство ''r''-степени числа – положительное число ''a'' в действительной степени ''r'' не меньше выражения ''ra-r+1''.''' | '''Неравенство ''r''-степени числа – положительное число ''a'' в действительной степени ''r'' не меньше выражения ''ra-r+1''.''' | ||
== Обозначения == | == Обозначения == | ||
| − | '''m,n''' – натуральные числа, '''m>n'''; | + | '''m, n''' – натуральные числа, '''m>n'''; |
| − | ''' | + | '''p''' – рациональное число больше 1, '''p=m/n'''; |
| − | ''' | + | '''q''' – иррациональное число больше 1; |
| − | '''a''' – | + | '''r, α, β, γ''' – действительные числа, '''α>1, β<0, 0<γ<1'''; |
| + | |||
| + | '''a, b''' – положительные действительные числа. | ||
== Формула неравенства == | == Формула неравенства == | ||
[[файл:НСЧ02.png]] | [[файл:НСЧ02.png]] | ||
== Доказательство == | == Доказательство == | ||
| + | Сначала докажем неравенство для положительных рациональных степеней больше 1. | ||
| + | |||
[[файл:НСЧ20.png]] | [[файл:НСЧ20.png]] | ||
| + | |||
| + | Неравенство для положительных иррациональных степеней больше 1 вытекает из полученного при '''p→q'''. | ||
| + | |||
| + | Подстановка '''a<sup>́α</sup>=a<sup>́1-β</sup>=b<sup>́β-1</sup>''' при '''α>1''' приводит к неравенству при '''β<0''': | ||
| + | |||
| + | [[файл:НСЧ21.png]] | ||
| + | |||
| + | Подстановка '''a<sup>́α</sup>=a<sup>́1/γ</sup>=b''' при '''α>1''' приводит к неравенству при '''0<γ<1''': | ||
| + | |||
| + | [[файл:НСЧ22.png]] | ||
| + | |||
| + | Так как неравенство верно при '''α>1, β<0, 0<γ<1''', а при '''0''' и '''1''' обращается в равенство, то оно верно при любых '''r'''. | ||
== [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | == [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | ||
{{Список Нер}} | {{Список Нер}} | ||
Текущая версия на 19:24, 19 мая 2025
Неравенство r-степени числа – положительное число a в действительной степени r не меньше выражения ra-r+1.
Обозначения
m, n – натуральные числа, m>n;
p – рациональное число больше 1, p=m/n;
q – иррациональное число больше 1;
r, α, β, γ – действительные числа, α>1, β<0, 0<γ<1;
a, b – положительные действительные числа.
Формула неравенства
Доказательство
Сначала докажем неравенство для положительных рациональных степеней больше 1.
Неравенство для положительных иррациональных степеней больше 1 вытекает из полученного при p→q.
Подстановка áα=á1-β=b́β-1 при α>1 приводит к неравенству при β<0:
Подстановка áα=á1/γ=b при α>1 приводит к неравенству при 0<γ<1:
Так как неравенство верно при α>1, β<0, 0<γ<1, а при 0 и 1 обращается в равенство, то оно верно при любых r.
Другие неравенства:
- неравенство n-степени числа;
- неравенство r-степени числа;
- неравенство Йенсена;
- неравенство Коши;
- неравенство p-ичных средних;
- обобщённое неравенство средних;
- неравенство взвешенных p-ичных средних;
- неравенство Коши-Буняковского;
- интегральное неравенство Коши-Буняковского;
- неравенство Минковского;
- обобщённое неравенство Минковского;
- интегральное неравенство Минковского;
- неравенство Гёльдера;
- обобщённое неравенство Гёльдера;
- интегральное неравенство Гёльдера;
- неравенство Фань Цзы;
- неравенство Маркова;
- неравенство Чебышёва.
Литература
- Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.24.
