Неравенство r-степени числа — различия между версиями

Текущая версия на 19:24, 19 мая 2025

Неравенство r-степени числа

Неравенство r-степени числа – положительное число a в действительной степени r не меньше выражения ra-r+1.

m, n – натуральные числа, m>n;

p – рациональное число больше 1, p=m/n;

q – иррациональное число больше 1;

r, α, β, γ – действительные числа, α>1, β<0, 0<γ<1;

a, b – положительные действительные числа.

Сначала докажем неравенство для положительных рациональных степеней больше 1.

Неравенство для положительных иррациональных степеней больше 1 вытекает из полученного при p→q.

Подстановка a^́α=a^́1-β=b^́β-1 при α>1 приводит к неравенству при β<0:

Подстановка a^́α=a^́1/γ=b при α>1 приводит к неравенству при 0<γ<1:

Так как неравенство верно при α>1, β<0, 0<γ<1, а при 0 и 1 обращается в равенство, то оно верно при любых r.

Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.24.

@@ Строка 24: / Строка 24: @@
 [[файл:НСЧ21.png]]
-Подстановка '''a<sup>́α</sup>=a<sup>́1/γ</sup>=b<sup>́β</sup>''' при '''α>1''' приводит к неравенству при '''0<γ<1''':
+Подстановка '''a<sup>́α</sup>=a<sup>́1/γ</sup>=b''' при '''α>1''' приводит к неравенству при '''0<γ<1''':
 [[файл:НСЧ22.png]]
+Так как неравенство верно при '''α>1, β<0, 0<γ<1''', а при '''0''' и '''1''' обращается в равенство, то оно верно при любых '''r'''.
 == [[Неравенства|Другие неравенства:]] ==
 {{Список Нер}}