Неравенство Коши-Буняковского — различия между версиями
м |
|||
| (не показано 9 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | [[Файл:НКБ01.png|thumb|300px|Неравенство Коши-Буняковского]] | |
| − | == | + | '''Неравенство Коши-Буняковского – сумма попарных произведений ''n'' чисел с другими ''n'' числами не больше произведения корней из сумм квадратов этих чисел.''' |
| − | + | == Обозначения == | |
| − | |||
'''n''' – число чисел; | '''n''' – число чисел; | ||
| Строка 8: | Строка 7: | ||
'''b<sub>i</sub>''' – '''i'''-ое число. | '''b<sub>i</sub>''' – '''i'''-ое число. | ||
| + | == Формула неравенства == | ||
| + | [[Файл:НКБ01.png]] | ||
| + | *Если множества чисел '''{a<sub>i</sub>}''' и '''{b<sub>i</sub>}''' считать векторами '''n'''-мерного пространства, то неравенство Коши-Буняковского означает, что '''[[скалярное произведение]] векторов не более произведения их длин (модулей, норм)'''. | ||
| + | == Доказательство == | ||
| + | 1.Докажем неравенство при '''k=2'''. | ||
| + | |||
| + | [[Файл:НКБ11.png]] | ||
| + | |||
| + | т.е. неравенство верно при '''k=2'''. | ||
| + | |||
| + | 2.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вверх. | ||
| + | Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''' и '''k=2''', и доказываем неравенство для '''k=2n'''. | ||
| + | |||
| + | [[Файл:НКБ12.png]] | ||
| + | |||
| + | т.е. неравенство верно при '''k=2n'''. | ||
| + | |||
| + | 3.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вниз. | ||
| + | Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''', и доказываем неравенство для '''k=n-1'''. | ||
| + | |||
| + | [[Файл:НКБ13.png]] | ||
| − | + | т.е. неравенство верно при '''k=n-1''', ч.т.д. | |
| − | |||
== Следствие == | == Следствие == | ||
| − | [[ | + | [[Файл:НКБ02.png]] |
== [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | == [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | ||
{{Список Нер}} | {{Список Нер}} | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
*Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. | *Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. | ||
| − | |||
[[Категория:Математика]] | [[Категория:Математика]] | ||
Текущая версия на 10:32, 24 марта 2025
Неравенство Коши-Буняковского – сумма попарных произведений n чисел с другими n числами не больше произведения корней из сумм квадратов этих чисел.
Содержание
Обозначения
n – число чисел;
ai – i-ое число;
bi – i-ое число.
Формула неравенства
- Если множества чисел {ai} и {bi} считать векторами n-мерного пространства, то неравенство Коши-Буняковского означает, что скалярное произведение векторов не более произведения их длин (модулей, норм).
Доказательство
1.Докажем неравенство при k=2.
т.е. неравенство верно при k=2.
2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n и k=2, и доказываем неравенство для k=2n.
т.е. неравенство верно при k=2n.
3.Доказательство индукцией вниз. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=n-1.
т.е. неравенство верно при k=n-1, ч.т.д.
Следствие
Другие неравенства:
- неравенство n-степени числа;
- неравенство Йенсена;
- неравенство Коши;
- неравенство p-ичных средних;
- обобщённое неравенство средних;
- неравенство взвешенных p-ичных средних;
- неравенство Коши-Буняковского;
- интегральное неравенство Коши-Буняковского;
- неравенство Минковского;
- обобщённое неравенство Минковского;
- интегральное неравенство Минковского;
- неравенство Гёльдера;
- обобщённое неравенство Гёльдера;
- интегральное неравенство Гёльдера;
- неравенство Фань Цзы;
- неравенство Маркова;
- неравенство Чебышёва.
Ссылки
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
