Неравенство r-степени числа — различия между версиями
м |
м |
||
| (не показаны 4 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Файл:НСЧ02.png|thumb|300px|Неравенство r-степени числа]] | [[Файл:НСЧ02.png|thumb|300px|Неравенство r-степени числа]] | ||
| − | '''Неравенство ''r''-степени числа – положительное число ''a'' в действительной степени ''r'' не меньше выражения ''ra-r+1''.''' | + | '''Неравенство ''r''-степени числа – положительное число ''a'' в действительной степени ''r'' при ''r<0'' или ''r>1'' не меньше выражения ''ra-r+1'', а при ''0<r<1'' не больше выражения ''ra-r+1''.''' |
== Обозначения == | == Обозначения == | ||
'''m, n''' – натуральные числа, '''m>n'''; | '''m, n''' – натуральные числа, '''m>n'''; | ||
| Строка 20: | Строка 20: | ||
Неравенство для положительных иррациональных степеней больше 1 вытекает из полученного при '''p→q'''. | Неравенство для положительных иррациональных степеней больше 1 вытекает из полученного при '''p→q'''. | ||
| − | Подстановка '''a<sup>́α</sup>=a<sup>́1-β</sup>=b<sup>́β-1</sup>''' при '''α>1''' приводит к неравенству при '''β<0''': | + | Подстановка '''a<sup>́α</sup>=a<sup>́1-β</sup>=b<sup>́β-1</sup>''' или '''a=b<sup>́-1</sup>''' при '''α>1''' приводит к неравенству при '''β<0''': |
[[файл:НСЧ21.png]] | [[файл:НСЧ21.png]] | ||
| − | Подстановка '''a<sup>́α</sup>=a<sup>́1/γ</sup>=b''' при '''α>1''' приводит к неравенству при '''0<γ<1''': | + | Подстановка '''a<sup>́α</sup>=a<sup>́1/γ</sup>=b''' при '''α>1''' приводит к противоположному неравенству при '''0<γ<1''': |
[[файл:НСЧ22.png]] | [[файл:НСЧ22.png]] | ||
| − | + | Неравенство верно при '''r<0, r>1'''. При '''0''' и '''1''' обращается в равенство. Противоположное неравенство верно при '''0<r<1'''. | |
== [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | == [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | ||
{{Список Нер}} | {{Список Нер}} | ||
Текущая версия на 10:10, 20 мая 2025
Неравенство r-степени числа – положительное число a в действительной степени r при r<0 или r>1 не меньше выражения ra-r+1, а при 0<r<1 не больше выражения ra-r+1.
Обозначения
m, n – натуральные числа, m>n;
p – рациональное число больше 1, p=m/n;
q – иррациональное число больше 1;
r, α, β, γ – действительные числа, α>1, β<0, 0<γ<1;
a, b – положительные действительные числа.
Формула неравенства
Доказательство
Сначала докажем неравенство для положительных рациональных степеней больше 1.
Неравенство для положительных иррациональных степеней больше 1 вытекает из полученного при p→q.
Подстановка áα=á1-β=b́β-1 или a=b́-1 при α>1 приводит к неравенству при β<0:
Подстановка áα=á1/γ=b при α>1 приводит к противоположному неравенству при 0<γ<1:
Неравенство верно при r<0, r>1. При 0 и 1 обращается в равенство. Противоположное неравенство верно при 0<r<1.
Другие неравенства:
- неравенство n-степени числа;
- неравенство r-степени числа;
- неравенство Йенсена;
- неравенство Коши;
- неравенство p-ичных средних;
- обобщённое неравенство средних;
- неравенство взвешенных p-ичных средних;
- неравенство Коши-Буняковского;
- интегральное неравенство Коши-Буняковского;
- неравенство Минковского;
- обобщённое неравенство Минковского;
- интегральное неравенство Минковского;
- неравенство Гёльдера;
- обобщённое неравенство Гёльдера;
- интегральное неравенство Гёльдера;
- неравенство Фань Цзы;
- неравенство Маркова;
- неравенство Чебышёва.
Литература
- Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.24.
