Неравенство Коши-Буняковского

Сумма попарных произведений n чисел с другими n числами не больше произведения корней из сумм квадратов этих чисел.

Формула неравенства

Введём обозначения:

n – число чисел;

a_i – i-ое число;

b_i – i-ое число.

• Если множества чисел {a_i} и {b_i} считать векторами n-мерного пространства, то неравенство Коши-Буняковского означает, что скалярное произведение векторов не более произведения их длин (модулей, норм).

Доказательство

1.Докажем неравенство при k=2.

т.е. неравенство верно при k=2.

2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n и k=2, и доказываем неравенство для k=2n.

т.е. неравенство верно при k=2n.

3.Доказательство индукцией вниз. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=n-1.

т.е. неравенство верно при k=n-1, ч.т.д.

Следствие

Другие неравенства:

• неравенство n-степени числа;
• неравенство Йенсена;
• неравенство Коши;
• неравенство p-ичных средних;
• обобщённое неравенство средних;
• неравенство взвешенных p-ичных средних;
• неравенство Коши-Буняковского;
• интегральное неравенство Коши-Буняковского;
• неравенство Минковского;
• обобщённое неравенство Минковского;
• интегральное неравенство Минковского;
• неравенство Гёльдера;
• обобщённое неравенство Гёльдера;
• интегральное неравенство Гёльдера;
• неравенство Фань Цзы;
• неравенство Маркова;
• неравенство Чебышёва.

Ссылки

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.