СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью

СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью

СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью — это система массового обслуживания, в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется). Максимальное число заявок в системе равно числу каналов.

Обозначения

n – число каналов обслуживания;

l – число каналов обслуживания в группе;

h – число полноценных групп каналов обслуживания, h=[n/l] ;

λ – интенсивность простейшего потока заявок;

μ – интенсивность простейшего потока обслуживания.

Описание модели

На вход n-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Интенсивность потока обслуживания с частичной взаимопомощью между каналами равна lμ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается группой из l-каналов одновременно, при этом производительность увеличивается в l-раз.

После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: l-каналов обслуживает первую заявку, другие l-каналов приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение групп совершенно произвольное.

Если система обслуживает k-заявок и (k+1)l<=n, то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание l-каналами из оставшихся.

Если система обслуживает k-заявок и n-l<kl<n, то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и распределяется равномерно между n-каналами.

Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки терпеливые).

Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе.

Если система обслуживает n-заявок (k=n), то каждая из них обслуживается одним каналом, а вновь прибывшая заявка встаёт в очередь и ожидает освобождения хотя бы одного из каналов.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/n/0 – СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается всеми n-каналами;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются n-каналами;

…;

S_h-1 – в системе имеется h-1-заявок, они обслуживаются (h-1)l-каналами;

S_h – в системе имеется h-заявок, они обслуживаются hl-каналами;

S_h+1 – в системе имеется h+1-заявок, они обслуживаются n-каналами.

…;

S_n-2 – в системе имеется n-2-заявок, они обслуживаются n-каналами;

S_n-1 – в системе имеется n-1-заявок, они обслуживаются n-каналами;

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n), получаем упрощённый вид системы.

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁,p₂,…,p_n.

В результате получаем решение системы:

Другие СМО:

1. СМО n-канальная без очереди;
2. СМО n-канальная без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
3. СМО n-канальная без очереди и со случайным результатом обслуживания;
4. СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
5. СМО n-канальная с m-очередью;
6. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
7. СМО n-канальная с m-очередью и со случайным результатом обслуживания;
8. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
9. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания;
10. СМО с бесконечным числом каналов;
11. СМО n-канальная с бесконечной очередью;
12. СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
13. СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
14. СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
15. СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
16. СМО замкнутая n-канальная без очереди;
17. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
18. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
19. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
20. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками.

Ссылки

• Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969,стр.141-149.