СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью

СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью

СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью — это система массового обслуживания, в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, иначе если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов и число мест в очереди, то она становится в очередь, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется). Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди.

Обозначения

n – число каналов обслуживания;

m – число мест в очереди;

l – число каналов обслуживания в группе;

h – число полноценных групп каналов обслуживания, h=[n/l] ;

λ – интенсивность простейшего потока заявок;

μ – интенсивность простейшего потока обслуживания.

Описание модели

На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Интенсивность потока обслуживания с частичной взаимопомощью между каналами равна lμ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается группой из l-каналов одновременно, при этом производительность увеличивается в l-раз.

После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: l-каналов обслуживает первую заявку, другие l-каналов приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение групп совершенно произвольное.

Если система обслуживает k-заявок и k<h, то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание l-каналами из оставшихся.

Если система обслуживает k-заявок и hl<=kl<n, то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и n-каналов распределяется равномерно между заявками.

Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки терпеливые).

Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе.

Если система обслуживает n-заявок (k=n), то каждая из них обслуживается одним каналом, а вновь прибывшая заявка встаёт в очередь и ожидает освобождения хотя бы одного из каналов.

Если в системе имеется (n+r)-заявок (r=1,m-1), то n-заявок из них обслуживаются и r-заявок ожидают в очереди, а вновь прибывшая заявка становится в очередь. Максимальное число мест в очереди m.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/n/m – СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается l-каналами;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, они обслуживается 2l-каналами;

…;

S_h-1 – в системе имеется (h-1)-заявок, они обслуживаются (h-1)l-каналами;

S_h – в системе имеется h-заявок, они обслуживаются hl-каналами, очереди нет;

S_h+1 – в системе имеется (h+1)-заявок и они обслуживаются n-каналами;

…;

S_n+m-2 – в системе имеется (n+m-2)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-2)-заявок ожидают в очереди;

S_n+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-1)-заявок ожидают в очереди;

S_n+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок ожидают в очереди;

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁,p₂,…,p_n+m.

В результате получаем решение системы:

Другие СМО:

1. СМО n-канальная без очереди;
2. СМО n-канальная без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
3. СМО n-канальная без очереди и со случайным результатом обслуживания;
4. СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
5. СМО n-канальная с m-очередью;
6. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
7. СМО n-канальная с m-очередью и со случайным результатом обслуживания;
8. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
9. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания;
10. СМО с бесконечным числом каналов;
11. СМО n-канальная с бесконечной очередью;
12. СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
13. СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
14. СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
15. СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
16. СМО замкнутая n-канальная без очереди;
17. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
18. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
19. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками.