СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания

СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания

СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания — это система массового обслуживания, в которой "нетерпеливая" заявка может уйти из очереди, не дождавшись обслуживания, или прервать обслуживание, не дождавшись окончания. Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди.

Обозначения

n – число каналов обслуживания;

m – число мест в очереди;

λ – интенсивность простейшего потока заявок;

μ – интенсивность простейшего потока обслуживания;

η – интенсивность простейшего потока уходов заявки с обслуживания;

ν – интенсивность простейшего потока уходов заявки из очереди.

Описание модели

Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она обслуживается любым каналом, который её может обслужить. При этом заявка проявляет «нетерпение».

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и "нетерпеливо" (в пределах ограниченного времени ожидания) ждёт своего обслуживания, иначе заявка уходит из очереди и исключается из обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/n/m – СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом, проявляя "нетерпение";

S₂ – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами, проявляя "нетерпение";

…;

S_n-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами, проявляя "нетерпение";

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, проявляя "нетерпение", очереди нет;

S_n+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, проявляя "нетерпение", а 1-заявка "нетерпеливо" ожидает в очереди;

…;

S_n+m-2 – в системе имеется (n+m-2)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, проявляя "нетерпение", а (m-2)-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;

S_n+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, проявляя "нетерпение", а (m-1)-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;

S_n+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, проявляя "нетерпение", а m-заявок "нетерпеливо" ожидают в очереди;

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁,p₂,…,p_n+m.

В результате получаем решение системы: Файл:СЛУntmt02.png

Другие СМО:

1. СМО n-канальная без очереди;
2. СМО n-канальная без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
3. СМО n-канальная без очереди и со случайным результатом обслуживания;
4. СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
5. СМО n-канальная с m-очередью;
6. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
7. СМО n-канальная с m-очередью и со случайным результатом обслуживания;
8. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
9. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания;
10. СМО с бесконечным числом каналов;
11. СМО n-канальная с бесконечной очередью;
12. СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
13. СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
14. СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
15. СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
16. СМО замкнутая n-канальная без очереди;
17. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
18. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
19. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками.

Ссылки

• Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969,стр.219-231.