Четверичная система счисления — различия между версиями

Материал из Мегапедии
Перейти к: навигация, поиск
(начало)
 
м
 
(не показано 26 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
'''Четверичная система''' — позиционная [[система счисления]] с основанием 4.  
+
'''Четверичная система (четырёхичная система, 4-ичная система)''' — позиционная [[система счисления]] с основанием 4.  
 
== Обозначения: ==
 
== Обозначения: ==
 
Введём обозначения:
 
Введём обозначения:
Строка 14: Строка 14:
 
== Формула числа ==
 
== Формула числа ==
 
[[файл:СС04ф.png]]
 
[[файл:СС04ф.png]]
С помощью '''n''' позиций в 4-ичной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от '''0''' до '''4<sup>n</sup>-1''', то есть всего '''4<sup>n</sup>''' различных чисел.
+
С помощью '''n''' позиций в четверичной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от '''0''' до '''4<sup>n</sup>-1''', то есть всего '''4<sup>n</sup>''' различных чисел.
 
== Таблицы сложения: ==
 
== Таблицы сложения: ==
 
=== Таблица сложения в четверичной системе счисления ===
 
=== Таблица сложения в четверичной системе счисления ===
Строка 25: Строка 25:
 
=== Таблица умножения в десятичной системе счисления ===
 
=== Таблица умножения в десятичной системе счисления ===
 
[[файл:ТУ10.png]]
 
[[файл:ТУ10.png]]
 +
== Таблицы перевода: ==
 +
=== Таблица 2-ичных пар ===
 +
[[файл:ТТ204.png]]
 +
=== Таблица 2-ичных триад ===
 +
[[файл:ТТ208.png]]
 +
=== Таблица 2-ичных тетрад ===
 +
[[файл:ТТ216.png]]
 +
=== Таблица 4-ичных пар ===
 +
[[файл:ТТ416.png]]
 +
=== Таблица 8-ричных пар и 4-ичных триад ===
 +
[[файл:ТТ408.png]]
 +
== [[Алгоритмы перевода чисел|Примеры алгоритмов:]] ==
 +
=== [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную]] ===
 +
Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-чных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается). 
 +
==== Перевод 4→2 ====
 +
'''112133<sub>4</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>'''
 +
=== [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в восьмеричную]] ===
 +
Исходное число четверичной системы счисления разбивается на триады цифр четверичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем триады цифр четверичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) пары цифр восьмеричной системы счисления. 
 +
==== Перевод 4→8 ====
 +
'''112133<sub>4</sub>=11 21 33<sub>4</sub>=26 37<sub>8</sub>=2637<sub>8</sub>'''
 +
=== [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в восьмеричную через двоичную]] ===
 +
Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления.
 +
Полученное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, или две цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления. 
 +
==== Перевод 4→2→8 ====
 +
'''112133<sub>4</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>=010 110 011 111<sub>2</sub>=2637<sub>8</sub>'''
 +
=== [[Перевод чисел в десятичную систему счисления|Перевод из четверичной системы счисления в десятичную]] ===
 +
Считается сумма произведений цифр четверичной системы счисления на веса разрядов (основание 4 в степени номер разряда, начиная с нулевого; нулевой разряд это разряд единиц, далее разряды десятков, сотен, тысяч и т.д.) в четверичной системе.
 +
Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.
 +
==== Перевод 4→10 ====
 +
'''112133<sub>4</sub>=1˙4<sup>5</sup>+1˙4<sup>4</sup>+2˙4<sup>3</sup>+1˙4<sup>2</sup>+3˙4<sup>1</sup>+3˙4<sup>0</sup>=1˙1024+1˙256+2˙64+1˙16+3˙4+3˙1=1024+256+128+16+12+3=1439<sub>10</sub> => 112133<sub>4</sub>=1439<sub>10</sub>'''
 +
=== [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную]] ===
 +
Исходное число четверичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) цифры шестнадцатеричной системы счисления. 
 +
==== Перевод 4→16 ====
 +
'''112133<sub>4</sub>=11 21 33<sub>4</sub>=59F<sub>16</sub>'''
 +
=== [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную через двоичную]] ===
 +
Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления.
 +
Полученное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления. 
 +
==== Перевод 4→2→16 ====
 +
'''112133<sub>4</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=59F<sub>16</sub>'''
 +
=== [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную]] ===
 +
Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице пар) цифры четверичной системы счисления. 
 +
==== Перевод 2→4 ====
 +
'''10110011111<sub>2</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=112133<sub>4</sub>'''
 +
=== [[Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в четверичную]] ===
 +
Исходное число восьмеричной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 7). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице пар и триад) триады цифр четверичной системы счисления. 
 +
==== Перевод 8→4 ====
 +
'''2637<sub>8</sub>=26 37<sub>8</sub>=112 133<sub>4</sub>=112133<sub>4</sub>'''
 +
=== [[Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в четверичную через двоичную]] ===
 +
Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр двоичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары двоичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления. 
 +
==== Перевод 8→2→4 ====
 +
'''2637<sub>8</sub>=010 110 011 111<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=112133<sub>4</sub>'''
 +
=== [[Перевод чисел из десятичной системы счисления|Перевод из десятичной системы счисления в четверичную]] ===
 +
Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание 4 и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания 4.
 +
Затем выписываются цифры в четверичной системе счисления вместо последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке.
 +
Полученное число является записью исходного числа в четверичной системе счисления.
 +
==== Перевод 10→4 ====
 +
[[файл:СС104.JPG]]
 +
'''=>  1439<sub>10</sub>=112133<sub>4</sub>'''
 +
=== [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную]] ===
 +
Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице пар) пары цифр четверичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).
 +
==== Перевод 16→4 ====
 +
'''59F<sub>16</sub>=11 21 33<sub>4</sub>=112133<sub>4</sub>'''
 +
=== [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную через двоичную]] ===
 +
Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр двоичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары двоичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления. 
 +
==== Перевод 16→2→4 ====
 +
'''59F<sub>16</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=112133<sub>4</sub>'''
 
== [[Система счисления|Другие системы счисления:]] ==
 
== [[Система счисления|Другие системы счисления:]] ==
 
{{Список ССчисл}}
 
{{Список ССчисл}}
 
== Ссылки ==
 
== Ссылки ==
 
*[[Участник:Logic-samara]]
 
*[[Участник:Logic-samara]]
[[Категория:Математика]]
+
[[Категория:Математика]][[Категория:Числа]][[Категория:Алгоритмы]]

Текущая версия на 07:20, 18 октября 2023

Четверичная система (четырёхичная система, 4-ичная система) — позиционная система счисления с основанием 4.

Содержание

Обозначения:

Введём обозначения:

a4 – натуральное число в четверичной системе счисления;

a10 – натуральное число в десятичной системе счисления;

n – число цифр в числе a4;

bj_4j-тая (справа-налево) четверичная цифра числа a4, принимает значения цифр от 0 до 3;

bj_10 – десятичное число соответствующее j-той (справа-налево) четверичной цифре числа a4, принимает значения от 0 до 3.

Формула числа

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

С помощью n позиций в четверичной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от 0 до 4n-1, то есть всего 4n различных чисел.

Таблицы сложения:

Таблица сложения в четверичной системе счисления

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Таблица сложения в десятичной системе счисления

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Таблицы умножения:

Таблица умножения в четверичной системе счисления

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Таблица умножения в десятичной системе счисления

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Таблицы перевода:

Таблица 2-ичных пар

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Таблица 2-ичных триад

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Таблица 2-ичных тетрад

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Таблица 4-ичных пар

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Таблица 8-ричных пар и 4-ичных триад

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

Примеры алгоритмов:

Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную

Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-чных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).

Перевод 4→2

1121334=01 01 10 01 11 112=101100111112

Перевод чисел из четверичной системы счисления в восьмеричную

Исходное число четверичной системы счисления разбивается на триады цифр четверичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем триады цифр четверичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) пары цифр восьмеричной системы счисления.

Перевод 4→8

1121334=11 21 334=26 378=26378

Перевод чисел из четверичной системы счисления в восьмеричную через двоичную

Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Полученное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, или две цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления.

Перевод 4→2→8

1121334=01 01 10 01 11 112=101100111112=010 110 011 1112=26378

Перевод из четверичной системы счисления в десятичную

Считается сумма произведений цифр четверичной системы счисления на веса разрядов (основание 4 в степени номер разряда, начиная с нулевого; нулевой разряд это разряд единиц, далее разряды десятков, сотен, тысяч и т.д.) в четверичной системе. Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.

Перевод 4→10

1121334=1˙45+1˙44+2˙43+1˙42+3˙41+3˙40=1˙1024+1˙256+2˙64+1˙16+3˙4+3˙1=1024+256+128+16+12+3=143910 => 1121334=143910

Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную

Исходное число четверичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 4→16

1121334=11 21 334=59F16

Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную через двоичную

Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Полученное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 4→2→16

1121334=01 01 10 01 11 112=101100111112=0101 1001 11112=59F16

Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице пар) цифры четверичной системы счисления.

Перевод 2→4

101100111112=01 01 10 01 11 112=1121334

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в четверичную

Исходное число восьмеричной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 7). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице пар и триад) триады цифр четверичной системы счисления.

Перевод 8→4

26378=26 378=112 1334=1121334

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в четверичную через двоичную

Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр двоичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары двоичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления.

Перевод 8→2→4

26378=010 110 011 1112=101100111112=01 01 10 01 11 112=1121334

Перевод из десятичной системы счисления в четверичную

Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание 4 и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания 4. Затем выписываются цифры в четверичной системе счисления вместо последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. Полученное число является записью исходного числа в четверичной системе счисления.

Перевод 10→4

Ошибка создания миниатюры: Не удаётся сохранить эскиз по месту назначения

=> 143910=1121334

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице пар) пары цифр четверичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).

Перевод 16→4

59F16=11 21 334=1121334

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную через двоичную

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр двоичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары двоичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления.

Перевод 16→2→4

59F16=0101 1001 11112=101100111112=01 01 10 01 11 112=1121334

Другие системы счисления:

Ссылки