Неравенство Йенсена

Неравенство Йенсена – выпуклая вверх функция от линейной комбинации чисел не менее линейной комбинации функций от этих чисел, выпуклая вниз функция от линейной комбинации чисел не более линейной комбинации функций от этих чисел.

Геометрический смысл: график выпуклой вверх функции расположен над хордой, график выпуклой вниз функции расположен под хордой.

Обозначения

n – число чисел;

x_i – i-ое число, 1≤i≤n;

p_i – i-ая положительная дробь – i-ый коэффициент линейной комбинации, 0<p_i<1.

f(x) – функция (выпуклая вверх или вниз);

p₁+p₂+…+p_n=1 – свойство коэффициентов линейной комбинации;

p₁x₁+p₂x₂+…+p_nx_n – линейная комбинация чисел;

p₁f(x₁)+p₂f(x₂)+…+p_nf(x_n) – линейная комбинация функций.

Формула неравенства

Функция выпуклая вверх

Функция выпуклая вниз

Следствия

Полагая, что p₁=p₂=…=p_n=1/n, получаем.

Функция выпуклая вверх

Функция выпуклая вниз

Другие неравенства:

• неравенство n-степени числа;
• неравенство Йенсена;
• неравенство Коши;
• неравенство p-ичных средних;
• обобщённое неравенство средних;
• неравенство взвешенных p-ичных средних;
• неравенство Коши-Буняковского;
• интегральное неравенство Коши-Буняковского;
• неравенство Минковского;
• обобщённое неравенство Минковского;
• интегральное неравенство Минковского;
• неравенство Гёльдера;
• обобщённое неравенство Гёльдера;
• интегральное неравенство Гёльдера;
• неравенство Фань Цзы;
• неравенство Маркова;
• неравенство Чебышёва.

Литература

• Зорич, В. А., Математический анализ. Ч.I, М, МЦНМО, 2012, с.289—290.
• Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, М, ФИЗМАТЛИТ, 2001, Т.1, с.336—337.

Ссылки

• https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Йенсена