Неравенство средних взвешенных

Неравенство средних взвешенных

Неравенство средних взвешенных – средневзвешенная сумма не меньше средневзвешенного произведения.

Обозначения

n – число положительных чисел;

a_i – i-ое положительное число;

p_i – i-ый удельный вес, 0<p_i<1;

p₁+p₂+...+p_k=1 – сумма весов для чисел неравенства.

Формула неравенства

• При p_i=1/n для всех i получаем неравенство Коши.

Доказательство

1.Докажем неравенство при k=2.

т.е. неравенство верно при k=2.

• При доказательстве используется неравенство r-степени числа.

2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n и k=2, и доказываем неравенство для k=n+1. Пусть сумма весов для k=n+1 чисел равна 1.

т.е. неравенство верно при k=n+1, ч.т.д.

Другие неравенства:

1. неравенство n-степени числа;
2. неравенство r-степени числа;
3. неравенство Йенсена;
4. неравенство Юнга;
5. неравенство Коши;
6. неравенство средних взвешенных;
7. неравенство p-ичных средних;
8. обобщённое неравенство средних;
9. неравенство взвешенных p-ичных средних;
10. неравенство Коши-Буняковского;
11. интегральное неравенство Коши-Буняковского;
12. неравенство Минковского;
13. обобщённое неравенство Минковского;
14. интегральное неравенство Минковского;
15. неравенство Гёльдера;
16. обобщённое неравенство Гёльдера;
17. интегральное неравенство Гёльдера;
18. неравенство Фань Цзы;
19. неравенство Маркова;
20. неравенство Чебышёва.

Литература

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.26.