Неравенство Коши — различия между версиями
м |
м |
||
| (не показаны 22 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | [[Файл:НК01.png|thumb|300px|Неравенство Коши]] | |
| + | '''Неравенство Коши – среднее арифметическое n положительных чисел не меньше их среднего геометрического'''. | ||
| + | == Обозначения == | ||
| + | '''n''' – число чисел; | ||
| + | |||
| + | '''a<sub>i</sub>''' – '''i'''-ое положительное число; | ||
| + | |||
| + | '''b<sub>i</sub>''' – это число равное '''ln a<sub>i</sub>'''. | ||
== Формула неравенства == | == Формула неравенства == | ||
| − | + | [[файл:НК01.png]] | |
| + | *Равенство имеет место только в том случае, когда все '''a<sub>i</sub>''' равны между собой. | ||
| + | == Доказательство 1 == | ||
| + | 1.Докажем неравенство при '''k=2'''. | ||
| − | '''n''' | + | [[Файл:НК11.png]] |
| + | |||
| + | т.е. неравенство верно при '''k=2'''. | ||
| + | |||
| + | 2.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вверх. | ||
| + | Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''' и '''k=2''', и доказываем неравенство для '''k=2n'''. | ||
| − | + | [[Файл:НК12.png]] | |
| − | + | т.е. неравенство верно при '''k=2n'''. | |
| − | |||
| − | |||
| − | + | 3.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вниз. | |
| + | Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''', и доказываем неравенство для '''k=n-1'''. | ||
| − | [[ | + | [[Файл:НК13.png]] |
| − | + | т.е. неравенство верно при '''k=n-1''', ч.т.д. | |
| − | = | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
*Идея доказательства общеизвестна, мне о ней рассказал в 1973 году В. Г. Евстигнеев - преподаватель математики МИЭИ им. С. Орджоникидзе. | *Идея доказательства общеизвестна, мне о ней рассказал в 1973 году В. Г. Евстигнеев - преподаватель математики МИЭИ им. С. Орджоникидзе. | ||
| + | == Доказательство 2 == | ||
| + | 1.Докажем неравенство при '''k=2'''. | ||
| + | |||
| + | [[Файл:НК21.png]] | ||
| + | |||
| + | т.е. неравенство верно при '''k=2'''. | ||
| + | |||
| + | 2.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вверх. | ||
| + | Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n-1''', и доказываем неравенство для '''k=n'''. | ||
| + | |||
| + | [[Файл:НК22.png]] | ||
| + | |||
| + | т.е. неравенство верно при '''k=n''', ч.т.д. | ||
| + | *Автор идеи доказательства Э.Якобсталь, при доказательстве используется [[неравенство n-степени числа]]. | ||
| + | == Доказательство 3 == | ||
| + | Т.к. функция '''lnx''' является функцией выпуклой вверх, то к ней применимо соответствующее [[неравенство Йенсена]]. | ||
| + | |||
| + | [[Файл:НК31.png]] | ||
| + | |||
| + | *Идея доказательства сформулирована в [https://ru.wikipedia.org/wiki/Неравенство_Йенсена Википедии.] | ||
| + | == Следствия == | ||
| + | [[файл:НК02.png]] | ||
== [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | == [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | ||
{{Список Нер}} | {{Список Нер}} | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
*Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, стр.158. | *Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, стр.158. | ||
| + | *Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.24. | ||
[[Категория:Математика]] | [[Категория:Математика]] | ||
Текущая версия на 09:10, 24 марта 2025
Неравенство Коши – среднее арифметическое n положительных чисел не меньше их среднего геометрического.
Содержание
Обозначения
n – число чисел;
ai – i-ое положительное число;
bi – это число равное ln ai.
Формула неравенства
- Равенство имеет место только в том случае, когда все ai равны между собой.
Доказательство 1
1.Докажем неравенство при k=2.
т.е. неравенство верно при k=2.
2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n и k=2, и доказываем неравенство для k=2n.
т.е. неравенство верно при k=2n.
3.Доказательство индукцией вниз. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=n-1.
т.е. неравенство верно при k=n-1, ч.т.д.
- Идея доказательства общеизвестна, мне о ней рассказал в 1973 году В. Г. Евстигнеев - преподаватель математики МИЭИ им. С. Орджоникидзе.
Доказательство 2
1.Докажем неравенство при k=2.
т.е. неравенство верно при k=2.
2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n-1, и доказываем неравенство для k=n.
т.е. неравенство верно при k=n, ч.т.д.
- Автор идеи доказательства Э.Якобсталь, при доказательстве используется неравенство n-степени числа.
Доказательство 3
Т.к. функция lnx является функцией выпуклой вверх, то к ней применимо соответствующее неравенство Йенсена.
- Идея доказательства сформулирована в Википедии.
Следствия
Другие неравенства:
- неравенство n-степени числа;
- неравенство r-степени числа;
- неравенство Йенсена;
- неравенство Юнга;
- неравенство Коши;
- неравенство средних взвешенных;
- неравенство p-ичных средних;
- обобщённое неравенство средних;
- неравенство взвешенных p-ичных средних;
- неравенство Коши-Буняковского;
- интегральное неравенство Коши-Буняковского;
- неравенство Минковского;
- обобщённое неравенство Минковского;
- интегральное неравенство Минковского;
- неравенство Гёльдера;
- обобщённое неравенство Гёльдера;
- интегральное неравенство Гёльдера;
- неравенство Фань Цзы;
- неравенство Маркова;
- неравенство Чебышёва.
Ссылки
- Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, стр.158.
- Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.24.
