Неравенство Йенсена — различия между версиями
(начало) |
м |
||
| (не показано 11 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | '''Неравенство Йенсена | + | [[Файл:НЙ01.png|thumb|300px|Неравенство Йенсена для f(x) выпуклой вверх]] |
| + | [[Файл:НЙ02.png|thumb|300px|Неравенство Йенсена для f(x) выпуклой вниз]] | ||
| + | '''Неравенство Йенсена – выпуклая вверх функция от линейной комбинации чисел не менее линейной комбинации функций от этих чисел, выпуклая вниз функция от линейной комбинации чисел не более линейной комбинации функций от этих чисел'''. | ||
| + | |||
| + | Геометрический смысл: график выпуклой вверх функции расположен над хордой, график выпуклой вниз функции расположен под хордой. | ||
== Обозначения == | == Обозначения == | ||
'''n''' – число чисел; | '''n''' – число чисел; | ||
| − | '''x<sub>i</sub>''' – '''i'''-ое число; | + | '''x<sub>i</sub>''' – '''i'''-ое число, '''1≤i≤n'''; |
| + | |||
| + | '''p<sub>i</sub>''' – '''i'''-ая положительная дробь – '''i'''-ый коэффициент линейной комбинации, '''0<p<sub>i</sub><1'''. | ||
| + | |||
| + | '''f(x)''' – функция (выпуклая вверх или вниз); | ||
| − | '''p<sub> | + | '''p<sub>1</sub>+p<sub>2</sub>+…+p<sub>n</sub>=1''' – свойство коэффициентов линейной комбинации; |
| − | ''' | + | '''p<sub>1</sub>x<sub>1</sub>+p<sub>2</sub>x<sub>2</sub>+…+p<sub>n</sub>x<sub>n</sub>''' – линейная комбинация чисел; |
| − | '''p<sub>1</sub>+p<sub>2</sub>+…+p<sub>n</sub> | + | '''p<sub>1</sub>f(x<sub>1</sub>)+p<sub>2</sub>f(x<sub>2</sub>)+…+p<sub>n</sub>f(x<sub>n</sub>)''' – линейная комбинация функций. |
== Формула неравенства == | == Формула неравенства == | ||
| − | === Функция | + | === Функция выпуклая вверх === |
[[файл:НЙ01.png]] | [[файл:НЙ01.png]] | ||
| − | === Функция | + | === Функция выпуклая вниз === |
[[файл:НЙ02.png]] | [[файл:НЙ02.png]] | ||
== Следствия == | == Следствия == | ||
| − | === Функция | + | Полагая, что '''p<sub>1</sub>=p<sub>2</sub>=…=p<sub>n</sub>=1/n''', получаем. |
| + | === Функция выпуклая вверх === | ||
[[файл:НЙ11.png]] | [[файл:НЙ11.png]] | ||
| − | === Функция | + | === Функция выпуклая вниз === |
[[файл:НЙ12.png]] | [[файл:НЙ12.png]] | ||
== [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | == [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | ||
Текущая версия на 10:40, 24 марта 2025
Неравенство Йенсена – выпуклая вверх функция от линейной комбинации чисел не менее линейной комбинации функций от этих чисел, выпуклая вниз функция от линейной комбинации чисел не более линейной комбинации функций от этих чисел.
Геометрический смысл: график выпуклой вверх функции расположен над хордой, график выпуклой вниз функции расположен под хордой.
Содержание
Обозначения
n – число чисел;
xi – i-ое число, 1≤i≤n;
pi – i-ая положительная дробь – i-ый коэффициент линейной комбинации, 0<pi<1.
f(x) – функция (выпуклая вверх или вниз);
p1+p2+…+pn=1 – свойство коэффициентов линейной комбинации;
p1x1+p2x2+…+pnxn – линейная комбинация чисел;
p1f(x1)+p2f(x2)+…+pnf(xn) – линейная комбинация функций.
Формула неравенства
Функция выпуклая вверх
Функция выпуклая вниз
Следствия
Полагая, что p1=p2=…=pn=1/n, получаем.
Функция выпуклая вверх
Функция выпуклая вниз
Другие неравенства:
- неравенство n-степени числа;
- неравенство Йенсена;
- неравенство Коши;
- неравенство p-ичных средних;
- обобщённое неравенство средних;
- неравенство взвешенных p-ичных средних;
- неравенство Коши-Буняковского;
- интегральное неравенство Коши-Буняковского;
- неравенство Минковского;
- обобщённое неравенство Минковского;
- интегральное неравенство Минковского;
- неравенство Гёльдера;
- обобщённое неравенство Гёльдера;
- интегральное неравенство Гёльдера;
- неравенство Фань Цзы;
- неравенство Маркова;
- неравенство Чебышёва.
Литература
- Зорич, В. А., Математический анализ. Ч.I, М, МЦНМО, 2012, с.289—290.
- Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, М, ФИЗМАТЛИТ, 2001, Т.1, с.336—337.
