Неравенство r-степени числа

Неравенство r-степени числа

Неравенство r-степени числа – положительное число a в действительной степени r при r<0 или r>1 не меньше выражения ra-r+1, а при 0<r<1 не больше выражения ra-r+1.

Обозначения

m, n – натуральные числа, m>n;

p – рациональное число больше 1, p=m/n;

q – иррациональное число больше 1;

r, α, β, γ – действительные числа, α>1, β<0, 0<γ<1;

a, b – положительные действительные числа.

Формула неравенства

Доказательство

Сначала докажем неравенство для положительных рациональных степеней больше 1.

Неравенство для положительных иррациональных степеней больше 1 вытекает из полученного при p→q.

Подстановка a^́α=a^́1-β=b^́β-1 или a=b^́-1 при α>1 приводит к неравенству при β<0:

Подстановка a^́α=a^́1/γ=b при α>1 приводит к противоположному неравенству при 0<γ<1:

Неравенство верно при α>1, β<0.

При 0 и 1 обращается в равенство.

Противоположное неравенство верно при 0<γ<1.

Другие неравенства:

• неравенство n-степени числа;
• неравенство r-степени числа;
• неравенство Йенсена;
• неравенство Коши;
• неравенство средних взвешенных;
• неравенство p-ичных средних;
• обобщённое неравенство средних;
• неравенство взвешенных p-ичных средних;
• неравенство Коши-Буняковского;
• интегральное неравенство Коши-Буняковского;
• неравенство Минковского;
• обобщённое неравенство Минковского;
• интегральное неравенство Минковского;
• неравенство Гёльдера;
• обобщённое неравенство Гёльдера;
• интегральное неравенство Гёльдера;
• неравенство Фань Цзы;
• неравенство Маркова;
• неравенство Чебышёва.

Литература

• Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.24.