Неравенство средних взвешенных — различия между версиями
м |
м |
||
| Строка 19: | Строка 19: | ||
т.е. неравенство верно при '''k=2'''. | т.е. неравенство верно при '''k=2'''. | ||
| + | *При доказательстве используется [[неравенство r-степени числа]]. | ||
2.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вверх. | 2.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вверх. | ||
| Строка 26: | Строка 27: | ||
т.е. неравенство верно при '''k=n+1''', ч.т.д. | т.е. неравенство верно при '''k=n+1''', ч.т.д. | ||
| − | *При доказательстве | + | *При доказательстве используются неравенства для '''k=2''' и '''k=n'''. |
== [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | == [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | ||
{{Список Нер}} | {{Список Нер}} | ||
Версия 13:41, 20 мая 2025
Неравенство средних взвешенных – средневзвешенная сумма не меньше средневзвешенного произведения.
Обозначения
n – число положительных чисел;
ai – i-ое положительное число;
pi – i-ый удельный вес, 0<pi<1;
p1+p2+...+pn=1 – сумма весов.
Формула неравенства
- При pi=1/n для всех i получаем неравенство Коши.
Доказательство
1.Докажем неравенство при k=2.
т.е. неравенство верно при k=2.
- При доказательстве используется неравенство r-степени числа.
2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=n+1.
т.е. неравенство верно при k=n+1, ч.т.д.
- При доказательстве используются неравенства для k=2 и k=n.
Другие неравенства:
- неравенство n-степени числа;
- неравенство r-степени числа;
- неравенство Йенсена;
- неравенство Коши;
- неравенство средних взвешенных;
- неравенство p-ичных средних;
- обобщённое неравенство средних;
- неравенство взвешенных p-ичных средних;
- неравенство Коши-Буняковского;
- интегральное неравенство Коши-Буняковского;
- неравенство Минковского;
- обобщённое неравенство Минковского;
- интегральное неравенство Минковского;
- неравенство Гёльдера;
- обобщённое неравенство Гёльдера;
- интегральное неравенство Гёльдера;
- неравенство Фань Цзы;
- неравенство Маркова;
- неравенство Чебышёва.
Литература
- Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.26.
