Неравенство средних взвешенных — различия между версиями
м |
м |
||
| (не показано 10 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 6: | Строка 6: | ||
'''a<sub>i</sub>''' – '''i'''-ое положительное число; | '''a<sub>i</sub>''' – '''i'''-ое положительное число; | ||
| − | '''p<sub>i</sub>''' – '''i'''-ый удельный вес; | + | '''p<sub>i</sub>''' – '''i'''-ый удельный вес, '''0<p<sub>i</sub><1'''; |
| − | '''p<sub>1</sub>+p<sub>2</sub>+...+p<sub> | + | '''p<sub>1</sub>+p<sub>2</sub>+...+p<sub>k</sub>=1''' – сумма весов для чисел неравенства. |
== Формула неравенства == | == Формула неравенства == | ||
[[файл:НСВ01.png]] | [[файл:НСВ01.png]] | ||
| − | При ''p<sub>i</sub>=1/n'' для всех ''i'' получаем [[неравенство Коши]]. | + | *При '''p<sub>i</sub>=1/n''' для всех '''i''' получаем [[неравенство Коши]]. |
== Доказательство == | == Доказательство == | ||
| − | [[файл: | + | 1.Докажем неравенство при '''k=2'''. |
| + | |||
| + | [[файл:НСВ11.png]] | ||
| + | |||
| + | т.е. неравенство верно при '''k=2'''. | ||
| + | *При доказательстве используется [[неравенство r-степени числа]]. | ||
| + | |||
| + | 2.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вверх. | ||
| + | Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''', и доказываем неравенство для '''k=n+1'''. Пусть сумма весов для '''k=n+1''' чисел равна '''1'''. | ||
| + | |||
| + | [[файл:НСВ12.png]] | ||
| + | |||
| + | т.е. неравенство верно при '''k=n+1''', ч.т.д. | ||
| + | *При доказательстве используются неравенства для '''k=2''' и '''k=n'''. | ||
== [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | == [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | ||
{{Список Нер}} | {{Список Нер}} | ||
Текущая версия на 13:55, 20 мая 2025
Неравенство средних взвешенных – средневзвешенная сумма не меньше средневзвешенного произведения.
Обозначения
n – число положительных чисел;
ai – i-ое положительное число;
pi – i-ый удельный вес, 0<pi<1;
p1+p2+...+pk=1 – сумма весов для чисел неравенства.
Формула неравенства
- При pi=1/n для всех i получаем неравенство Коши.
Доказательство
1.Докажем неравенство при k=2.
т.е. неравенство верно при k=2.
- При доказательстве используется неравенство r-степени числа.
2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=n+1. Пусть сумма весов для k=n+1 чисел равна 1.
т.е. неравенство верно при k=n+1, ч.т.д.
- При доказательстве используются неравенства для k=2 и k=n.
Другие неравенства:
- неравенство n-степени числа;
- неравенство r-степени числа;
- неравенство Йенсена;
- неравенство Коши;
- неравенство средних взвешенных;
- неравенство p-ичных средних;
- обобщённое неравенство средних;
- неравенство взвешенных p-ичных средних;
- неравенство Коши-Буняковского;
- интегральное неравенство Коши-Буняковского;
- неравенство Минковского;
- обобщённое неравенство Минковского;
- интегральное неравенство Минковского;
- неравенство Гёльдера;
- обобщённое неравенство Гёльдера;
- интегральное неравенство Гёльдера;
- неравенство Фань Цзы;
- неравенство Маркова;
- неравенство Чебышёва.
Литература
- Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.26.
