Неравенство Фань Цзы — различия между версиями

Материал из Мегапедии
Перейти к: навигация, поиск
м
м
 
(не показано 13 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
−
[[Файл:НФЦ01.PNG|thumb|300px]]
+
[[Файл:НФЦ01.png|thumb|300px|Неравенство Фань Цзы]]
−
'''Неравенство Фань Цзы''' — [[Неравенства|неравенство]] для [[действительные числа|действительных чисел]], гласящее, что отношение произведения '''n''' положительных дробей, не превышающих '''0,5''', к '''n'''-степени их суммы не больше аналогичного отношения для дополнений этих дробей до единицы.
+
'''Неравенство Фань Цзы''' – '''отношение произведения n положительных дробей, не превышающих 0,5, к n-степени их суммы не больше аналогичного отношения для дополнений этих дробей до единицы'''.
 
== Обозначения ==
 
== Обозначения ==
 
'''n''' — число дробей;
 
'''n''' — число дробей;
  
−
<math>a_i</math> — '''i'''-ая положительная дробь от '''0''' до '''0,5''';
+
'''a<sub>i</sub>''' — '''i'''-ая положительная дробь от '''0''' до '''0,5''';
  
−
<math>1-a_i</math> — это дополнение <math>a_i</math> до '''1''' — положительная дробь от '''0,5''' до '''1'''.
+
'''1-a<sub>i</sub>''' — это дополнение '''a<sub>i</sub>''' до '''1''' — положительная дробь от '''0,5''' до '''1'''.
 
== Формула неравенства ==
 
== Формула неравенства ==
−
<!--[[Файл:НФЦ01.png]]-->
+
[[Файл:НФЦ01.png]]
−
:<math> \frac{a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_n}{ \left(a_1+a_2+\ldots+a_n\right)^n } \le \frac{\left(1-a_1\right)\cdot \left(1-a_2\right)\cdot \ldots \cdot \left(1-a_n\right)}{\left[ \left(1-a_1\right)+\left(1-a_2\right)+\ldots+\left(1-a_n\right) \right]^n} \Leftrightarrow \frac{ \prod \limits_{i=1}^n a_i}{\left( \sum \limits_{i=1}^n a_i\right)^n} \le \frac{ \prod \limits_{i=1}^n \left(1-a_i \right)}{ \left[ \sum\limits_{i=1}^n \left(1-a_i\right) \right]^n}
+
*Равенство имеет место только в том случае, когда все '''a<sub>i</sub>''' равны между собой.  
−
</math>
 
−
*Равенство имеет место только в том случае, когда все '''a <sub>i</sub>''' равны между собой.  
 
 
== Доказательство ==
 
== Доказательство ==
 
1.Докажем неравенство при '''k=2'''.  
 
1.Докажем неравенство при '''k=2'''.  
 +
 
[[Файл:НФЦ11.png]]
 
[[Файл:НФЦ11.png]]
  
Строка 19: Строка 18:
  
 
2.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вверх.  
 
2.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вверх.  
−
Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''', и доказываем неравенство для '''k=2n'''.  
+
Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''' и '''k=2''', и доказываем неравенство для '''k=2n'''.  
 +
 
 
[[Файл:НФЦ12.png]]
 
[[Файл:НФЦ12.png]]
  
Строка 26: Строка 26:
 
3.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вниз.
 
3.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вниз.
 
Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''', и доказываем неравенство для '''k=n-1'''.  
 
Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''', и доказываем неравенство для '''k=n-1'''.  
 +
 
[[Файл:НФЦ13.png]]
 
[[Файл:НФЦ13.png]]
  
Строка 31: Строка 32:
 
== Следствие ==
 
== Следствие ==
 
[[Файл:НФЦ02.png]]
 
[[Файл:НФЦ02.png]]
−
:<math> \frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_1} \ge \frac{1-a_1}{1-a_2}+ \frac{1-a_2}{1-a_1} </math>
 
 
== Доказательство следствия ==
 
== Доказательство следствия ==
 
[[Файл:НФЦ21.png]]
 
[[Файл:НФЦ21.png]]
Строка 38: Строка 38:
 
== Ссылки ==
 
== Ссылки ==
 
*Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.15.
 
*Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.15.
−
[[Категория:Математика]][[Категория:Неравенства]]
+
[[Категория:Математика]]

Текущая версия на 09:21, 24 марта 2025

Неравенство Фань Цзы

Неравенство Фань Цзы – отношение произведения n положительных дробей, не превышающих 0,5, к n-степени их суммы не больше аналогичного отношения для дополнений этих дробей до единицы.

Обозначения

n — число дробей;

ai — i-ая положительная дробь от 0 до 0,5;

1-ai — это дополнение ai до 1 — положительная дробь от 0,5 до 1.

Формула неравенства

НФЦ01.png

  • Равенство имеет место только в том случае, когда все ai равны между собой.

Доказательство

1.Докажем неравенство при k=2.

НФЦ11.png

т.е. неравенство верно при k=2.

2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n и k=2, и доказываем неравенство для k=2n.

НФЦ12.png

т.е. неравенство верно при k=2n.

3.Доказательство индукцией вниз. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=n-1.

НФЦ13.png

т.е. неравенство верно при k=n-1, ч.т.д.

Следствие

НФЦ02.png

Доказательство следствия

НФЦ21.png

Другие неравенства:

Ссылки

  • Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.15.
Источник — «http://megapedia.wiki/w/index.php?title=Неравенство_Фань_Цзы&oldid=131211»