Неравенство Юнга — различия между версиями
м |
м |
||
| (не показаны 3 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | [[Файл:НЮ01.png|thumb|300px|Неравенство Юнга для строго возрастающей f(x)]] | + | [[Файл:НЮ01.png|thumb|300px|Неравенство Юнга для строго возрастающей от нуля f(x)]] |
'''Неравенство Юнга – для непрерывной строго возрастающей от нуля функции сумма интегралов от взаимно обратных функций от нуля до пределов интегрирования не меньше произведения этих пределов интегрирования'''. | '''Неравенство Юнга – для непрерывной строго возрастающей от нуля функции сумма интегралов от взаимно обратных функций от нуля до пределов интегрирования не меньше произведения этих пределов интегрирования'''. | ||
| − | Геометрический смысл: сумма площадей под графиком строго возрастающей от нуля функции и под графиком обратной функции не меньше площади прямоугольника со сторонами равными пределам интегрирования. | + | Геометрический смысл: |
| + | |||
| + | 1)сумма площадей под графиком строго возрастающей от нуля функции (в пределах интегрирования) и под графиком обратной функции (в пределах интегрирования) не меньше площади прямоугольника со сторонами равными пределам интегрирования; | ||
| + | |||
| + | 2)сумма площадей под графиком строго возрастающей от нуля функции и слева от графика этой функции не меньше площади прямоугольника со сторонами равными пределам интегрирования. | ||
== Обозначения == | == Обозначения == | ||
'''a, b''' – пределы интегрирования; | '''a, b''' – пределы интегрирования; | ||
| Строка 11: | Строка 15: | ||
== Формула неравенства == | == Формула неравенства == | ||
[[файл:НЮ01.png]] | [[файл:НЮ01.png]] | ||
| + | *Равенство достигается только при '''b=f(a)'''. | ||
== [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | == [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | ||
{{Список Нер}} | {{Список Нер}} | ||
Текущая версия на 18:12, 22 мая 2025
Неравенство Юнга – для непрерывной строго возрастающей от нуля функции сумма интегралов от взаимно обратных функций от нуля до пределов интегрирования не меньше произведения этих пределов интегрирования.
Геометрический смысл:
1)сумма площадей под графиком строго возрастающей от нуля функции (в пределах интегрирования) и под графиком обратной функции (в пределах интегрирования) не меньше площади прямоугольника со сторонами равными пределам интегрирования;
2)сумма площадей под графиком строго возрастающей от нуля функции и слева от графика этой функции не меньше площади прямоугольника со сторонами равными пределам интегрирования.
Обозначения
a, b – пределы интегрирования;
f(x) – строго возрастающая от нуля функция, 0≤x≤a, f(0)=0;
f-1(x) – функция обратная к f(x), 0≤x≤b.
Формула неравенства
- Равенство достигается только при b=f(a).
Другие неравенства:
- неравенство n-степени числа;
- неравенство r-степени числа;
- неравенство Йенсена;
- неравенство Юнга;
- неравенство Коши;
- неравенство средних взвешенных;
- неравенство p-ичных средних;
- обобщённое неравенство средних;
- неравенство взвешенных p-ичных средних;
- неравенство Коши-Буняковского;
- интегральное неравенство Коши-Буняковского;
- неравенство Минковского;
- обобщённое неравенство Минковского;
- интегральное неравенство Минковского;
- неравенство Гёльдера;
- обобщённое неравенство Гёльдера;
- интегральное неравенство Гёльдера;
- неравенство Фань Цзы;
- неравенство Маркова;
- неравенство Чебышёва.
Литература
- Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.27.
