Неравенство Фань Цзы — различия между версиями
м |
м |
||
| Строка 4: | Строка 4: | ||
'''n''' — число дробей; | '''n''' — число дробей; | ||
| − | < | + | '''a <sub>i</sub>''' — '''i'''-ая положительная дробь от '''0''' до '''0,5'''; |
| − | < | + | '''1-a <sub>i</sub>''' — это дополнение '''a <sub>i</sub>''' до '''1''' — положительная дробь от '''0,5''' до '''1'''. |
== Формула неравенства == | == Формула неравенства == | ||
| − | + | [[Файл:НФЦ01.png]] | |
| − | |||
| − | |||
*Равенство имеет место только в том случае, когда все '''a <sub>i</sub>''' равны между собой. | *Равенство имеет место только в том случае, когда все '''a <sub>i</sub>''' равны между собой. | ||
== Доказательство == | == Доказательство == | ||
1.Докажем неравенство при '''k=2'''. | 1.Докажем неравенство при '''k=2'''. | ||
| + | |||
[[Файл:НФЦ11.png]] | [[Файл:НФЦ11.png]] | ||
| Строка 20: | Строка 19: | ||
2.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вверх. | 2.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вверх. | ||
Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''', и доказываем неравенство для '''k=2n'''. | Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''', и доказываем неравенство для '''k=2n'''. | ||
| + | |||
[[Файл:НФЦ12.png]] | [[Файл:НФЦ12.png]] | ||
| Строка 26: | Строка 26: | ||
3.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вниз. | 3.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вниз. | ||
Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''', и доказываем неравенство для '''k=n-1'''. | Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''', и доказываем неравенство для '''k=n-1'''. | ||
| + | |||
[[Файл:НФЦ13.png]] | [[Файл:НФЦ13.png]] | ||
| Строка 31: | Строка 32: | ||
== Следствие == | == Следствие == | ||
[[Файл:НФЦ02.png]] | [[Файл:НФЦ02.png]] | ||
| − | |||
== Доказательство следствия == | == Доказательство следствия == | ||
[[Файл:НФЦ21.png]] | [[Файл:НФЦ21.png]] | ||
Версия 04:51, 7 февраля 2025
Файл:НФЦ01.PNG
300px
Неравенство Фань Цзы — неравенство для действительных чисел, гласящее, что отношение произведения n положительных дробей, не превышающих 0,5, к n-степени их суммы не больше аналогичного отношения для дополнений этих дробей до единицы.
Содержание
Обозначения
n — число дробей;
a i — i-ая положительная дробь от 0 до 0,5;
1-a i — это дополнение a i до 1 — положительная дробь от 0,5 до 1.
Формула неравенства
- Равенство имеет место только в том случае, когда все a i равны между собой.
Доказательство
1.Докажем неравенство при k=2.
т.е. неравенство верно при k=2.
2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=2n.
т.е. неравенство верно при k=2n.
3.Доказательство индукцией вниз. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=n-1.
т.е. неравенство верно при k=n-1, ч.т.д.
Следствие
Доказательство следствия
Другие неравенства:
- неравенство n-степени числа;
- неравенство Йенсена;
- неравенство Коши;
- неравенство p-ичных средних;
- обобщённое неравенство средних;
- неравенство взвешенных p-ичных средних;
- неравенство Коши-Буняковского;
- интегральное неравенство Коши-Буняковского;
- неравенство Минковского;
- обобщённое неравенство Минковского;
- интегральное неравенство Минковского;
- неравенство Гёльдера;
- обобщённое неравенство Гёльдера;
- интегральное неравенство Гёльдера;
- неравенство Фань Цзы;
- неравенство Маркова;
- неравенство Чебышёва.
Ссылки
- Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.15.
