Неравенство средних взвешенных — различия между версиями

Материал из Мегапедии
Перейти к: навигация, поиск
м
м
Строка 21: Строка 21:
  
 
2.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вверх.  
 
2.Доказательство [[Метод математической индукции|индукцией]] вверх.  
Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n-1''', и доказываем неравенство для '''k=n'''.  
+
Предполагаем, что неравенство верно для '''k=n''', и доказываем неравенство для '''k=n+1'''.  
  
 
[[файл:НСВ12.png]]
 
[[файл:НСВ12.png]]
  
т.е. неравенство верно при '''k=n''', ч.т.д.
+
т.е. неравенство верно при '''k=n+1''', ч.т.д.
 
*При доказательстве используется [[неравенство r-степени числа]].
 
*При доказательстве используется [[неравенство r-степени числа]].
 
== [[Неравенства|Другие неравенства:]] ==
 
== [[Неравенства|Другие неравенства:]] ==

Версия 12:49, 20 мая 2025

Неравенство средних взвешенных

Неравенство средних взвешенных – средневзвешенная сумма не меньше средневзвешенного произведения.

Обозначения

n – число положительных чисел;

aii-ое положительное число;

pii-ый удельный вес, 0<pi<1;

p1+p2+...+pn=1 – сумма весов.

Формула неравенства

НСВ01.png

Доказательство

1.Докажем неравенство при k=2.

НСВ11.png

т.е. неравенство верно при k=2.

2.Доказательство индукцией вверх. Предполагаем, что неравенство верно для k=n, и доказываем неравенство для k=n+1.

НСВ12.png

т.е. неравенство верно при k=n+1, ч.т.д.

Другие неравенства:

Литература

  • Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: КомКнига, под ред. В.И.Левина, Изд.2, 2007, стр.26.