Неравенство Маркова — различия между версиями
м |
м |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
[[Вероятность]] того, что непрерывная положительная случайная величина превысит некоторое положительное число, не более отношения её [[Средняя непрерывной случайной величины|математического ожидания]] к заданному числу. | [[Вероятность]] того, что непрерывная положительная случайная величина превысит некоторое положительное число, не более отношения её [[Средняя непрерывной случайной величины|математического ожидания]] к заданному числу. | ||
== Обозначения == | == Обозначения == | ||
| − | '''X''' – | + | '''X''' – положительная случайная величина; |
'''M(X)''' – математическое ожидание случайной величины '''X'''; | '''M(X)''' – математическое ожидание случайной величины '''X'''; | ||
| Строка 8: | Строка 8: | ||
== Формула неравенства == | == Формула неравенства == | ||
[[файл:НМ01.png]] | [[файл:НМ01.png]] | ||
| − | *Заметим, что [[вероятность]] равенства для непрерывной случайной величины равна нулю, поэтому строгое и нестрогое неравенства событий равнозначны. | + | *Заметим, что [[вероятность]] равенства для непрерывной случайной величины (НСВ) равна нулю, поэтому строгое и нестрогое неравенства событий равнозначны. |
| − | == Доказательство == | + | == Доказательство для НСВ == |
[[файл:НМ11.png]] | [[файл:НМ11.png]] | ||
| + | == Доказательство для ДСВ == | ||
| + | [[файл:НМ21.png]] | ||
== Следствие == | == Следствие == | ||
[[файл:НМ02.png]] | [[файл:НМ02.png]] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
== [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | == [[Неравенства|Другие неравенства:]] == | ||
{{Список Нер}} | {{Список Нер}} | ||
Версия 12:18, 7 февраля 2025
Вероятность того, что непрерывная положительная случайная величина превысит некоторое положительное число, не более отношения её математического ожидания к заданному числу.
Содержание
Обозначения
X – положительная случайная величина;
M(X) – математическое ожидание случайной величины X;
ε – положительное число большее чем M(X).
Формула неравенства
- Заметим, что вероятность равенства для непрерывной случайной величины (НСВ) равна нулю, поэтому строгое и нестрогое неравенства событий равнозначны.
Доказательство для НСВ
Доказательство для ДСВ
Следствие
Другие неравенства:
- неравенство n-степени числа;
- неравенство Йенсена;
- неравенство Коши;
- неравенство p-ичных средних;
- обобщённое неравенство средних;
- неравенство взвешенных p-ичных средних;
- неравенство Коши-Буняковского;
- интегральное неравенство Коши-Буняковского;
- неравенство Минковского;
- обобщённое неравенство Минковского;
- интегральное неравенство Минковского;
- неравенство Гёльдера;
- обобщённое неравенство Гёльдера;
- интегральное неравенство Гёльдера;
- неравенство Фань Цзы;
- неравенство Маркова;
- неравенство Чебышёва.
Ссылки
- Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юнити, 2004, стр.223-224.
