Неравенство Маркова

Вероятность того, что непрерывная положительная случайная величина превысит некоторое положительное число, не более отношения её математического ожидания к заданному числу.

Обозначения

X – непрерывная положительная случайная величина;

M(X) – математическое ожидание случайной величины X;

ε – положительное число большее чем M(X).

Формула неравенства

• Заметим, что вероятность равенства для непрерывной случайной величины равна нулю, поэтому строгое и нестрогое неравенства равнозначны.

Доказательство

Следствие

Примечания

Неравенство Маркова применимо для дискретной положительной случайной величины X в виде:

Следствие неравенства Маркова применимо для дискретной положительной случайной величины X в виде:

Доказательство 2

Другие неравенства:

• неравенство n-степени числа;
• неравенство Йенсена;
• неравенство Коши;
• неравенство p-ичных средних;
• обобщённое неравенство средних;
• неравенство взвешенных p-ичных средних;
• неравенство Коши-Буняковского;
• интегральное неравенство Коши-Буняковского;
• неравенство Минковского;
• обобщённое неравенство Минковского;
• интегральное неравенство Минковского;
• неравенство Гёльдера;
• обобщённое неравенство Гёльдера;
• интегральное неравенство Гёльдера;
• неравенство Фань Цзы;
• неравенство Маркова;
• неравенство Чебышёва.

Ссылки

• Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юнити, 2004, стр.223-224.