СМО с бесконечным числом каналов

СМО с бесконечным числом каналов

СМО с бесконечным числом каналов — это система массового обслуживания, в которой любая заявка немедленно обслуживается любым одним каналом.

Обозначения

n – число каналов обслуживания;

m – число мест в очереди;

λ – интенсивность простейшего потока заявок;

μ – интенсивность простейшего потока обслуживания.

Описание модели

На вход СМО с бесконечным числом каналов поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается любым одним из каналов.

Если заявка застаёт занятым хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание любым из свободных каналов и обслуживается до конца.

После окончания обслуживания одной заявки освобождается один канал.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/∞ – СМО с бесконечным числом каналов.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, они обслуживается 2-каналами;

…;

S_i-1 – в системе имеется (i-1)-заявок, они обслуживаются (i-1)-каналами;

S_i – в системе имеется i-заявок, они обслуживаются i-каналами;

S_i+1 – в системе имеется (i+1)-заявок, они обслуживаются (i+1)-каналами;

….

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,∞), получаем упрощённый вид системы.

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁,p₂,…,p_i-1,p_i,p_i+1,….

В результате получаем решение системы:

• Заметим, что при n→∞,m=0,λ_i-1=λ,μ_i=iμ,i=1,∞ система массового обслуживания становится СМО с бесконечным числом каналов.

Основные характеристики системы

Другие СМО:

1. СМО n-канальная без очереди;
2. СМО n-канальная без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
3. СМО n-канальная без очереди и со случайным результатом обслуживания;
4. СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
5. СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
6. СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
7. СМО с бесконечным числом каналов;
8. СМО n-канальная с m-очередью;
9. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
10. СМО n-канальная с m-очередью и со случайным результатом обслуживания;
11. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
12. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания;
13. СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
14. СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
15. СМО n-канальная с бесконечной очередью;
16. СМО замкнутая n-канальная без очереди;
17. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
18. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
19. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
20. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
21. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками;
22. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с взаимопомощью;
23. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с частичной взаимопомощью.

Ссылки

• Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.118-119.