СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью

СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью

СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью — это система массового обслуживания, в которой есть n-каналов, m-мест в очереди, (n+m)-источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в (n+m)-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание n-каналами. Если заявка приходит, в момент, когда в системе меньше n-заявок, то каналы перераспределяются по заявкам. Если в системе больше n-заявок и есть места в очереди, то заявка становится в очередь и ожидает освобождения канала, который её может обслужить. Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди.

Обозначения

n – число каналов обслуживания;

m – число мест в очереди;

l – число каналов обслуживания в группе;

h – число полноценных групп каналов обслуживания, h=[n/l] ;

λ – интенсивность простейшего потока заявок;

μ – интенсивность простейшего потока обслуживания.

Описание модели

На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ. Интенсивность потока обслуживания с взаимопомощью между каналами равна nμ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается n-каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в n-раз.

После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе меньше n-заявок, то она принимается на обслуживание n-каналами. Обслуживание n-каналов распределяется равномерно между заявками.

Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки терпеливые).

Если система обслуживает n-заявок, то каждая из них обслуживается одним каналом, а вновь прибывшая заявка встаёт в очередь и ожидает освобождения хотя бы одного из каналов.

Если в системе имеется (n+r)-заявок (r=1,m-1), то n-заявок из них обслуживаются и r-заявок ожидают в очереди, а вновь прибывшая заявка становится в очередь. Максимальное число мест в очереди m.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/n/m/n+m – СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, (n+m)-источников заявок;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается n-каналами, (n+m-1)-источников заявок;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются n-каналами, (n+m-2)-источников заявок;

…;

S_n-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются n-каналами, (m+1)-источников заявок;

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет, m-источников заявок;

S_n+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, они обслуживаются n-каналами, (m-1)-источников заявок;

…;

S_n+m-2 – в системе имеется (n+m-2)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-2)-заявок в очереди, 2-источника заявок;

S_n+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-1)-заявок в очереди, 1-источник заявок;

S_n+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок в очереди, источников заявок нет;

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁,p₂,…,p_n+m.

В результате получаем решение системы:

• Заметим, что при n>0,m>0,λ_i-1=(n+m-i+1)λ,μ_i=nμ,i=1,n+m система массового обслуживания становится СМО замкнутой n-канальной с m-очередью и с взаимопомощью.

Другие СМО:

1. СМО n-канальная без очереди;
2. СМО n-канальная без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
3. СМО n-канальная без очереди и со случайным результатом обслуживания;
4. СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
5. СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
6. СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
7. СМО с бесконечным числом каналов;
8. СМО n-канальная с m-очередью;
9. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
10. СМО n-канальная с m-очередью и со случайным результатом обслуживания;
11. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
12. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания;
13. СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
14. СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
15. СМО n-канальная с бесконечной очередью;
16. СМО замкнутая n-канальная без очереди;
17. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
18. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
19. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
20. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
21. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками;
22. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с взаимопомощью;
23. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с частичной взаимопомощью.

Ссылки

• Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, М.,1969,стр.296-298.