Двоичная система счисления

Двоичная система (2-ичная система) — позиционная система счисления с основанием 2.

Обозначения:

Введём обозначения:

a₂ – натуральное число в двоичной системе счисления;

a₁₀ – натуральное число в десятичной системе счисления;

n – число цифр в числе a₂;

b_{j_2} – j-тая (справа-налево) двоичная цифра числа a₂, принимает значения цифр от 0 до 1;

b_{j_10} – десятичное число соответствующее j-той (справа-налево) двоичной цифре числа a₂, принимает значения от 0 до 1.

Формула числа

С помощью n позиций в двоичной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от 0 до 2ⁿ-1, то есть всего 2ⁿ различных чисел.

Таблицы сложения:

Таблица сложения в двоичной системе счисления

Таблица сложения в десятичной системе счисления

Таблицы умножения:

Таблица умножения в двоичной системе счисления

Таблица умножения в десятичной системе счисления

Таблицы перевода:

Таблица 2-ичных пар

Таблица 2-ичных триад

Таблица 2-ичных тетрад

Примеры алгоритмов:

Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления.

Перевод 2→4

10110011111₂=01 01 10 01 11 11₂=112133₄

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления.

Перевод 2→8

10110011111₂=010 110 011 111₂=2637₈

Перевод из двоичной системы счисления в десятичную

Считается сумма произведений цифр двоичной системы счисления на веса разрядов (основание 2 в степени номер разряда, начиная с нулевого; нулевой разряд это разряд единиц, далее разряды десятков, сотен, тысяч и т.д.) в двоичной системе. Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.

Перевод 2→10

10110011111₂=1˙2¹⁰+0˙2⁹+1˙2⁸+1˙2⁷+0˙2⁶+0˙2⁵+1˙2⁴+1˙2³+1˙2²+1˙2¹+1˙2⁰=1˙1024+0˙512+1˙256+1˙128+0˙64+0˙16+1˙8+1˙4+1˙2+1˙1=

=1024+0+256+128+0+0+8+4+2+1=1439₁₀ => 10110011111₂=1439₁₀

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 2→16

10110011111₂=0101 1001 1111₂=59F₁₆

Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную

Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).

Перевод 4→2

112133₄=01 01 10 01 11 11₂=10110011111₂

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную

Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) триады опускаются (отбрасываются).

Перевод 8→2

2637₈=010 110 011 111₂=10110011111₂

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную

Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание 2 и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания 2. Затем выписываются цифры в двоичной системе счисления вместо последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. Полученное число является записью исходного числа в двоичной системе счисления.

Перевод 10→2

=> 1439₁₀=10110011111₂

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются).

Перевод 16→2

59F₁₆=0101 1001 1111₂=10110011111₂

Другие системы счисления:

• двоичная (цифры:0-1);
• троичная (цифры:0-2);
• четверичная (цифры:0-3);
• пятеричная (цифры:0-4);
• шестеричная (цифры:0-5);
• семеричная (цифры:0-6);
• восьмеричная (цифры:0-7);
• девятеричная (цифры:0-8);
• десятичная (цифры:0-9);
• одиннадцатиричная (цифры:0-9,A);
• одиннадцатиричная специальная (цифры:0-9,A);
• двенадцатеричная (цифры:0-9,A-B);
• тринадцатеричная (цифры:0-9,A-C);
• четырнадцатеричная (цифры:0-9,A-D);
• пятнадцатеричная (цифры:0-9,A-E);
• шестнадцатеричная (цифры:0-9,A-F).

Ссылки

• Участник:Logic-samara