Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система (16-ричная система) — позиционная система счисления с основанием 16.

Обозначения:

Введём обозначения:

a₁₆ – натуральное число в шестнадцатеричной системе счисления;

a₁₀ – натуральное число в десятичной системе счисления;

n – число цифр в числе a₁₆;

b_{j_16} – j-тая (справа-налево) шестнадцатеричная цифра числа a₁₆, принимает значения цифр от 0 до 9 и латинских букв от A до F;

b_{j_10} – десятичное число соответствующее j-той (справа-налево) шестнадцатеричной цифре числа a₁₆, принимает значения от 0 до 15. Буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 10₁₀, 11₁₀, 12₁₀, 13₁₀, 14₁₀, 15₁₀ соответственно.

Формула числа

С помощью n позиций в шестнадцатеричной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от 0 до 16ⁿ-1, то есть всего 16ⁿ различных чисел.

Таблицы сложения:

Таблица сложения в шестнадцатеричной системе счисления

Таблица сложения в десятичной системе счисления

Таблицы умножения:

Таблица умножения в шестнадцатеричной системе счисления

Таблица умножения в десятичной системе счисления

Таблицы перевода:

Таблица 2-ичных пар

Таблица 2-ичных триад

Таблица 2-ичных тетрад

Таблица 4-ичных пар

Таблица 8-ричных пар и 4-ичных триад

Примеры алгоритмов:

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются).

Перевод 16→2

59F₁₆=0101 1001 1111₂=10110011111₂

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) пары цифр четверичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).

Перевод 16→4

59F₁₆=11 21 33₄=112133₄

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную через двоичную

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр двоичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары двоичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления.

Перевод 16→2→4

59F₁₆=0101 1001 1111₂=10110011111₂=01 01 10 01 11 11₂=112133₄

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную через двоичную

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две цифры). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления.

Перевод 16→2→8

59F₁₆=0101 1001 1111₂=10110011111₂=010 110 011 111₂=2637₈

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную через четверичную

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) пары цифр четверичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается). Далее число четверичной системы счисления разбивается на триады цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем триады цифр четверичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) пары цифр восьмеричной системы счисления.

Перевод 16→4→8

59F₁₆=11 21 33₄=112133₄=112 133₄=26 37₈=2637₈

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную

Считается сумма произведений цифр шестнадцатеричной системы счисления (предварительно переведённых в десятичную систему счисления) на веса разрядов (основание 16 в степени номер разряда, начиная с нулевого; нулевой разряд это разряд единиц, далее разряды десятков, сотен, тысяч и т.д.) в шестнадцатеричной системе. Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.

Перевод 16→10

59F₁₆=5˙16²+9˙16¹+F˙16⁰=5˙256+9˙16+15˙1=1280+144+15=1439₁₀ => 59F₁₆=1439₁₀

Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 2→16

10110011111₂=0101 1001 1111₂=59F₁₆

Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную

Исходное число четверичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 4→16

112133₄=11 21 33₄=59F₁₆

Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную через двоичную

Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Полученное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 4→2→16

112133₄=01 01 10 01 11 11₂=10110011111₂=0101 1001 1111₂=59F₁₆

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную через двоичную

Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 8→2→16

2637₈=010 110 011 111₂=10110011111₂=0101 1001 1111₂=59F₁₆

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную через четверичную

Исходное число восьмеричной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 7). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр восьмеричной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) триады цифр четверичной системы счисления. Далее число четверичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр четверичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 8→4→16

2637₈=26 37₈=112 133₄=112133₄=11 21 33₄=59F₁₆

Перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную

Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание 16 и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания 16. Затем выписываются цифры в шестнадцатеричной системе счисления вместо (полученных в десятичной системе счисления) последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. Полученное число является записью исходного числа в шестнадцатеричной системе счисления.

Перевод 10→16

=> 1439₁₀=59F₁₆

Другие системы счисления:

• двоичная (цифры:0-1);
• троичная (цифры:0-2);
• четверичная (цифры:0-3);
• пятеричная (цифры:0-4);
• шестеричная (цифры:0-5);
• семеричная (цифры:0-6);
• восьмеричная (цифры:0-7);
• девятеричная (цифры:0-8);
• десятичная (цифры:0-9);
• одиннадцатиричная (цифры:0-9,A);
• одиннадцатиричная специальная (цифры:0-9,A);
• двенадцатеричная (цифры:0-9,A-B);
• тринадцатеричная (цифры:0-9,A-C);
• четырнадцатеричная (цифры:0-9,A-D);
• пятнадцатеричная (цифры:0-9,A-E);
• шестнадцатеричная (цифры:0-9,A-F).

Ссылки

• Участник:Logic-samara