Двоичная система счисления — различия между версиями
(начало) |
м |
||
| (не показано 17 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | '''Двоичная система''' — позиционная [[система счисления]] с основанием 2. | + | '''Двоичная система (2-ичная система)''' — позиционная [[система счисления]] с основанием 2. |
== Обозначения: == | == Обозначения: == | ||
Введём обозначения: | Введём обозначения: | ||
| Строка 14: | Строка 14: | ||
== Формула числа == | == Формула числа == | ||
[[файл:СС02ф.png]] | [[файл:СС02ф.png]] | ||
| − | С помощью '''n''' позиций в | + | С помощью '''n''' позиций в двоичной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от '''0''' до '''2<sup>n</sup>-1''', то есть всего '''2<sup>n</sup>''' различных чисел. |
== Таблицы сложения: == | == Таблицы сложения: == | ||
=== Таблица сложения в двоичной системе счисления === | === Таблица сложения в двоичной системе счисления === | ||
| Строка 21: | Строка 21: | ||
[[файл:ТС10.png]] | [[файл:ТС10.png]] | ||
== Таблицы умножения: == | == Таблицы умножения: == | ||
| − | === Таблица умножения в | + | === Таблица умножения в двоичной системе счисления === |
[[файл:ТУ0210.png]] | [[файл:ТУ0210.png]] | ||
=== Таблица умножения в десятичной системе счисления === | === Таблица умножения в десятичной системе счисления === | ||
[[файл:ТУ10.png]] | [[файл:ТУ10.png]] | ||
| + | == Таблицы перевода: == | ||
| + | === Таблица 2-ичных пар === | ||
| + | [[файл:ТТ204.png]] | ||
| + | === Таблица 2-ичных триад === | ||
| + | [[файл:ТТ208.png]] | ||
| + | === Таблица 2-ичных тетрад === | ||
| + | [[файл:ТТ216.png]] | ||
| + | == [[Алгоритмы перевода чисел|Примеры алгоритмов:]] == | ||
| + | === [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную]] === | ||
| + | Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления. | ||
| + | ==== Перевод 2→4 ==== | ||
| + | '''10110011111<sub>2</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=112133<sub>4</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную]] === | ||
| + | Исходное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления. | ||
| + | ==== Перевод 2→8 ==== | ||
| + | '''10110011111<sub>2</sub>=010 110 011 111<sub>2</sub>=2637<sub>8</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел в десятичную систему счисления|Перевод из двоичной системы счисления в десятичную]] === | ||
| + | Считается сумма произведений цифр двоичной системы счисления на веса разрядов (основание 2 в степени номер разряда, начиная с нулевого; нулевой разряд это разряд единиц, далее разряды десятков, сотен, тысяч и т.д.) в двоичной системе. | ||
| + | Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления. | ||
| + | ==== Перевод 2→10 ==== | ||
| + | '''10110011111<sub>2</sub>=1˙2<sup>10</sup>+0˙2<sup>9</sup>+1˙2<sup>8</sup>+1˙2<sup>7</sup>+0˙2<sup>6</sup>+0˙2<sup>5</sup>+1˙2<sup>4</sup>+1˙2<sup>3</sup>+1˙2<sup>2</sup>+1˙2<sup>1</sup>+1˙2<sup>0</sup>=1˙1024+0˙512+1˙256+1˙128+0˙64+0˙16+1˙8+1˙4+1˙2+1˙1=''' | ||
| + | |||
| + | '''=1024+0+256+128+0+0+8+4+2+1=1439<sub>10</sub> => 10110011111<sub>2</sub>=1439<sub>10</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную]] === | ||
| + | Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления. | ||
| + | ==== Перевод 2→16 ==== | ||
| + | '''10110011111<sub>2</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=59F<sub>16</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную]] === | ||
| + | Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается). | ||
| + | ==== Перевод 4→2 ==== | ||
| + | '''112133<sub>4</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную]] === | ||
| + | Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) триады опускаются (отбрасываются). | ||
| + | ==== Перевод 8→2 ==== | ||
| + | '''2637<sub>8</sub>=010 110 011 111<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из десятичной системы счисления|Перевод из десятичной системы счисления в двоичную]] === | ||
| + | Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание 2 и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания 2. | ||
| + | Затем выписываются цифры в двоичной системе счисления вместо последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. | ||
| + | Полученное число является записью исходного числа в двоичной системе счисления. | ||
| + | ==== Перевод 10→2 ==== | ||
| + | [[файл:СС102.JPG]] | ||
| + | '''=> 1439<sub>10</sub>=10110011111<sub>2</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную]] === | ||
| + | Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются). | ||
| + | ==== Перевод 16→2 ==== | ||
| + | '''59F<sub>16</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>''' | ||
== [[Система счисления|Другие системы счисления:]] == | == [[Система счисления|Другие системы счисления:]] == | ||
{{Список ССчисл}} | {{Список ССчисл}} | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
*[[Участник:Logic-samara]] | *[[Участник:Logic-samara]] | ||
| − | [[Категория:Математика]] | + | [[Категория:Математика]][[Категория:Числа]][[Категория:Алгоритмы]] |
Текущая версия на 07:31, 18 октября 2023
Двоичная система (2-ичная система) — позиционная система счисления с основанием 2.
Содержание
- 1 Обозначения:
- 2 Формула числа
- 3 Таблицы сложения:
- 4 Таблицы умножения:
- 5 Таблицы перевода:
- 6 Примеры алгоритмов:
- 6.1 Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную
- 6.2 Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную
- 6.3 Перевод из двоичной системы счисления в десятичную
- 6.4 Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную
- 6.5 Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную
- 6.6 Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную
- 6.7 Перевод из десятичной системы счисления в двоичную
- 6.8 Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную
- 7 Другие системы счисления:
- 8 Ссылки
Обозначения:
Введём обозначения:
a2 – натуральное число в двоичной системе счисления;
a10 – натуральное число в десятичной системе счисления;
n – число цифр в числе a2;
bj_2 – j-тая (справа-налево) двоичная цифра числа a2, принимает значения цифр от 0 до 1;
bj_10 – десятичное число соответствующее j-той (справа-налево) двоичной цифре числа a2, принимает значения от 0 до 1.
Формула числа
С помощью n позиций в двоичной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от 0 до 2n-1, то есть всего 2n различных чисел.
Таблицы сложения:
Таблица сложения в двоичной системе счисления
Таблица сложения в десятичной системе счисления
Таблицы умножения:
Таблица умножения в двоичной системе счисления
Таблица умножения в десятичной системе счисления
Таблицы перевода:
Таблица 2-ичных пар
Таблица 2-ичных триад
Таблица 2-ичных тетрад
Примеры алгоритмов:
Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную
Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления.
Перевод 2→4
101100111112=01 01 10 01 11 112=1121334
Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную
Исходное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления.
Перевод 2→8
101100111112=010 110 011 1112=26378
Перевод из двоичной системы счисления в десятичную
Считается сумма произведений цифр двоичной системы счисления на веса разрядов (основание 2 в степени номер разряда, начиная с нулевого; нулевой разряд это разряд единиц, далее разряды десятков, сотен, тысяч и т.д.) в двоичной системе. Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.
Перевод 2→10
101100111112=1˙210+0˙29+1˙28+1˙27+0˙26+0˙25+1˙24+1˙23+1˙22+1˙21+1˙20=1˙1024+0˙512+1˙256+1˙128+0˙64+0˙16+1˙8+1˙4+1˙2+1˙1=
=1024+0+256+128+0+0+8+4+2+1=143910 => 101100111112=143910
Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную
Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.
Перевод 2→16
101100111112=0101 1001 11112=59F16
Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную
Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).
Перевод 4→2
1121334=01 01 10 01 11 112=101100111112
Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную
Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) триады опускаются (отбрасываются).
Перевод 8→2
26378=010 110 011 1112=101100111112
Перевод из десятичной системы счисления в двоичную
Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание 2 и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания 2. Затем выписываются цифры в двоичной системе счисления вместо последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. Полученное число является записью исходного числа в двоичной системе счисления.
Перевод 10→2
=> 143910=101100111112
Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную
Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются).
Перевод 16→2
59F16=0101 1001 11112=101100111112
Другие системы счисления:
- двоичная (цифры:0-1);
- троичная (цифры:0-2);
- четверичная (цифры:0-3);
- пятеричная (цифры:0-4);
- шестеричная (цифры:0-5);
- семеричная (цифры:0-6);
- восьмеричная (цифры:0-7);
- девятеричная (цифры:0-8);
- десятичная (цифры:0-9);
- одиннадцатиричная (цифры:0-9,A);
- одиннадцатиричная специальная (цифры:0-9,A);
- двенадцатеричная (цифры:0-9,A-B);
- тринадцатеричная (цифры:0-9,A-C);
- четырнадцатеричная (цифры:0-9,A-D);
- пятнадцатеричная (цифры:0-9,A-E);
- шестнадцатеричная (цифры:0-9,A-F).
