Метод Ньютона — различия между версиями
(начало) |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Метод Ньютона''' — это численный метод решения системы нелинейных уравнений вида '''F(X)=0''' с заданной точностью '''ε'''. | '''Метод Ньютона''' — это численный метод решения системы нелинейных уравнений вида '''F(X)=0''' с заданной точностью '''ε'''. | ||
| + | = Методы решения системы нелинейных уравнений = | ||
== Описание метода == | == Описание метода == | ||
Суть метода Ньютона состоит в расчётах новой точки '''X''' по старой точке. | Суть метода Ньютона состоит в расчётах новой точки '''X''' по старой точке. | ||
| Строка 32: | Строка 33: | ||
== Другие системы: == | == Другие системы: == | ||
{{Список СУ}} | {{Список СУ}} | ||
| − | == Ссылки | + | = [[Разделы математики|Другие разделы]] = |
| + | = Ссылки = | ||
*Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | *Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | ||
*[[Участник:Logic-samara]] | *[[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Математика]][[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | [[Категория:Математика]][[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | ||
Текущая версия на 14:24, 28 января 2023
Метод Ньютона — это численный метод решения системы нелинейных уравнений вида F(X)=0 с заданной точностью ε.
Содержание
Методы решения системы нелинейных уравнений
Описание метода
Суть метода Ньютона состоит в расчётах новой точки X по старой точке.
Для решения методом Ньютона системы n нелинейных уравнений с n неизвестными, то есть системы вида:
где fi(x1,x2,… ,xn) для 1≤i≤n, дважды непрерывно дифференцируема (в некоторой окрестности решения X системы уравнений F(X)=0), сначала находим матрицу из частных производных для системы функций f1(x1,x2,… ,xn), f2(x1,x2,… ,xn), …, fn(x1,x2,… ,xn), которая называется матрицей Якоби:
Затем для k=0 выбираем начальную точку X0 в некоторой окрестности решения X*, причём ΔЯ(X0)≠0, например X0=(1;1;…;1). Далее на (k+1)-шаге вычисляем матрицу Якоби Я(Xk)=F’(Xk), систему функций F(Xk) в точке Xk, и новую точку Xk+1 вычисляем по формуле:
Расстояние между точками определяется по формуле:
Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.
Алгоритм решения
Входные данные: F, Я, ε.
Выходные данные: X1.
- Заметим, что метод Ньютона при n=1, то есть для нелинейного уравнения f1(x1)=0, становится методом касательных.
Другие методы:
- Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.
Другие системы:
Другие разделы
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara
