Шестнадцатеричная система счисления — различия между версиями
м |
м |
||
| (не показано 25 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | '''Шестнадцатеричная система''' — позиционная [[система счисления]] с основанием 16. | + | '''Шестнадцатеричная система (16-ричная система)''' — позиционная [[система счисления]] с основанием 16. |
== Обозначения: == | == Обозначения: == | ||
Введём обозначения: | Введём обозначения: | ||
| Строка 15: | Строка 15: | ||
== Формула числа == | == Формула числа == | ||
[[файл:СС16ф.png]] | [[файл:СС16ф.png]] | ||
| − | С помощью '''n''' позиций в | + | С помощью '''n''' позиций в шестнадцатеричной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от '''0''' до '''16<sup>n</sup>-1''', то есть всего '''16<sup>n</sup>''' различных чисел. |
== Таблицы сложения: == | == Таблицы сложения: == | ||
=== Таблица сложения в шестнадцатеричной системе счисления === | === Таблица сложения в шестнадцатеричной системе счисления === | ||
| Строка 26: | Строка 26: | ||
=== Таблица умножения в десятичной системе счисления === | === Таблица умножения в десятичной системе счисления === | ||
[[файл:ТУ1016.png]] | [[файл:ТУ1016.png]] | ||
| + | == Таблицы перевода: == | ||
| + | === Таблица 2-ичных пар === | ||
| + | [[файл:ТТ204.png]] | ||
| + | === Таблица 2-ичных триад === | ||
| + | [[файл:ТТ208.png]] | ||
| + | === Таблица 2-ичных тетрад === | ||
| + | [[файл:ТТ216.png]] | ||
| + | === Таблица 4-ичных пар === | ||
| + | [[файл:ТТ416.png]] | ||
| + | === Таблица 8-ричных пар и 4-ичных триад === | ||
| + | [[файл:ТТ408.png]] | ||
| + | == [[Алгоритмы перевода чисел|Примеры алгоритмов:]] == | ||
=== [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную]] === | === [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную]] === | ||
| − | Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются). | + | Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются). |
| − | ==== | + | ==== Перевод 16→2 ==== |
| − | [[ | + | '''59F<sub>16</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>''' |
| − | ==== | + | === [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную]] === |
| − | [[файл: | + | Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) пары цифр четверичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается). |
| + | ==== Перевод 16→4 ==== | ||
| + | '''59F<sub>16</sub>=11 21 33<sub>4</sub>=112133<sub>4</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную через двоичную]] === | ||
| + | Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр двоичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары двоичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления. | ||
| + | ==== Перевод 16→2→4 ==== | ||
| + | '''59F<sub>16</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=112133<sub>4</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную через двоичную]] === | ||
| + | Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). | ||
| + | Полученное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две цифры). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления. | ||
| + | ==== Перевод 16→2→8 ==== | ||
| + | '''59F<sub>16</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>=010 110 011 111<sub>2</sub>=2637<sub>8</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную через четверичную]] === | ||
| + | Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) пары цифр четверичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается). Далее число четверичной системы счисления разбивается на триады цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем триады цифр четверичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) пары цифр восьмеричной системы счисления. | ||
| + | ==== Перевод 16→4→8 ==== | ||
| + | '''59F<sub>16</sub>=11 21 33<sub>4</sub>=112133<sub>4</sub>=112 133<sub>4</sub>=26 37<sub>8</sub>=2637<sub>8</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел в десятичную систему счисления|Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную]] === | ||
| + | Считается сумма произведений цифр шестнадцатеричной системы счисления (предварительно переведённых в десятичную систему счисления) на веса разрядов (основание 16 в степени номер разряда, начиная с нулевого; нулевой разряд это разряд единиц, далее разряды десятков, сотен, тысяч и т.д.) в шестнадцатеричной системе. | ||
| + | Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления. | ||
| + | ==== Перевод 16→10 ==== | ||
| + | '''59F<sub>16</sub>=5˙16<sup>2</sup>+9˙16<sup>1</sup>+F˙16<sup>0</sup>=5˙256+9˙16+15˙1=1280+144+15=1439<sub>10</sub> => 59F<sub>16</sub>=1439<sub>10</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную]] === | ||
| + | Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления. | ||
| + | ==== Перевод 2→16 ==== | ||
| + | '''10110011111<sub>2</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=59F<sub>16</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную]] === | ||
| + | Исходное число четверичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) цифры шестнадцатеричной системы счисления. | ||
| + | ==== Перевод 4→16 ==== | ||
| + | '''112133<sub>4</sub>=11 21 33<sub>4</sub>=59F<sub>16</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную через двоичную]] === | ||
| + | Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления. | ||
| + | Полученное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления. | ||
| + | ==== Перевод 4→2→16 ==== | ||
| + | '''112133<sub>4</sub>=01 01 10 01 11 11<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=59F<sub>16</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную через двоичную]] === | ||
| + | Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). | ||
| + | Полученное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления. | ||
| + | ==== Перевод 8→2→16 ==== | ||
| + | '''2637<sub>8</sub>=010 110 011 111<sub>2</sub>=10110011111<sub>2</sub>=0101 1001 1111<sub>2</sub>=59F<sub>16</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную через четверичную]] === | ||
| + | Исходное число восьмеричной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 7). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр восьмеричной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) триады цифр четверичной системы счисления. Далее число четверичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр четверичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) цифры шестнадцатеричной системы счисления. | ||
| + | ==== Перевод 8→4→16 ==== | ||
| + | '''2637<sub>8</sub>=26 37<sub>8</sub>=112 133<sub>4</sub>=112133<sub>4</sub>=11 21 33<sub>4</sub>=59F<sub>16</sub>''' | ||
| + | === [[Перевод чисел из десятичной системы счисления|Перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную]] === | ||
| + | Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание 16 и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания 16. | ||
| + | Затем выписываются цифры в шестнадцатеричной системе счисления вместо (полученных в десятичной системе счисления) последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. | ||
| + | Полученное число является записью исходного числа в шестнадцатеричной системе счисления. | ||
| + | ==== Перевод 10→16 ==== | ||
| + | [[файл:СС116.JPG]] | ||
| + | '''=> 1439<sub>10</sub>=59F<sub>16</sub>''' | ||
== [[Система счисления|Другие системы счисления:]] == | == [[Система счисления|Другие системы счисления:]] == | ||
{{Список ССчисл}} | {{Список ССчисл}} | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
*[[Участник:Logic-samara]] | *[[Участник:Logic-samara]] | ||
| − | [[Категория:Математика]] | + | [[Категория:Математика]][[Категория:Числа]][[Категория:Алгоритмы]] |
Текущая версия на 07:45, 18 октября 2023
Шестнадцатеричная система (16-ричная система) — позиционная система счисления с основанием 16.
Содержание
- 1 Обозначения:
- 2 Формула числа
- 3 Таблицы сложения:
- 4 Таблицы умножения:
- 5 Таблицы перевода:
- 6 Примеры алгоритмов:
- 6.1 Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную
- 6.2 Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную
- 6.3 Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную через двоичную
- 6.4 Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную через двоичную
- 6.5 Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную через четверичную
- 6.6 Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную
- 6.7 Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную
- 6.8 Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную
- 6.9 Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную через двоичную
- 6.10 Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную через двоичную
- 6.11 Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную через четверичную
- 6.12 Перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную
- 7 Другие системы счисления:
- 8 Ссылки
Обозначения:
Введём обозначения:
a16 – натуральное число в шестнадцатеричной системе счисления;
a10 – натуральное число в десятичной системе счисления;
n – число цифр в числе a16;
bj_16 – j-тая (справа-налево) шестнадцатеричная цифра числа a16, принимает значения цифр от 0 до 9 и латинских букв от A до F;
bj_10 – десятичное число соответствующее j-той (справа-налево) шестнадцатеричной цифре числа a16, принимает значения от 0 до 15. Буквы A, B, C, D, E, F имеют значения 1010, 1110, 1210, 1310, 1410, 1510 соответственно.
Формула числа
С помощью n позиций в шестнадцатеричной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от 0 до 16n-1, то есть всего 16n различных чисел.
Таблицы сложения:
Таблица сложения в шестнадцатеричной системе счисления
Таблица сложения в десятичной системе счисления
Таблицы умножения:
Таблица умножения в шестнадцатеричной системе счисления
Таблица умножения в десятичной системе счисления
Таблицы перевода:
Таблица 2-ичных пар
Таблица 2-ичных триад
Таблица 2-ичных тетрад
Таблица 4-ичных пар
Таблица 8-ричных пар и 4-ичных триад
Примеры алгоритмов:
Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную
Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются).
Перевод 16→2
59F16=0101 1001 11112=101100111112
Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную
Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) пары цифр четверичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).
Перевод 16→4
59F16=11 21 334=1121334
Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную через двоичную
Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр двоичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары двоичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления.
Перевод 16→2→4
59F16=0101 1001 11112=101100111112=01 01 10 01 11 112=1121334
Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную через двоичную
Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две цифры). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления.
Перевод 16→2→8
59F16=0101 1001 11112=101100111112=010 110 011 1112=26378
Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную через четверичную
Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) пары цифр четверичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается). Далее число четверичной системы счисления разбивается на триады цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем триады цифр четверичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) пары цифр восьмеричной системы счисления.
Перевод 16→4→8
59F16=11 21 334=1121334=112 1334=26 378=26378
Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную
Считается сумма произведений цифр шестнадцатеричной системы счисления (предварительно переведённых в десятичную систему счисления) на веса разрядов (основание 16 в степени номер разряда, начиная с нулевого; нулевой разряд это разряд единиц, далее разряды десятков, сотен, тысяч и т.д.) в шестнадцатеричной системе. Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.
Перевод 16→10
59F16=5˙162+9˙161+F˙160=5˙256+9˙16+15˙1=1280+144+15=143910 => 59F16=143910
Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную
Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.
Перевод 2→16
101100111112=0101 1001 11112=59F16
Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную
Исходное число четверичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) цифры шестнадцатеричной системы счисления.
Перевод 4→16
1121334=11 21 334=59F16
Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную через двоичную
Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Полученное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.
Перевод 4→2→16
1121334=01 01 10 01 11 112=101100111112=0101 1001 11112=59F16
Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную через двоичную
Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.
Перевод 8→2→16
26378=010 110 011 1112=101100111112=0101 1001 11112=59F16
Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную через четверичную
Исходное число восьмеричной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 7). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр восьмеричной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) триады цифр четверичной системы счисления. Далее число четверичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр четверичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) цифры шестнадцатеричной системы счисления.
Перевод 8→4→16
26378=26 378=112 1334=1121334=11 21 334=59F16
Перевод из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную
Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание 16 и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания 16. Затем выписываются цифры в шестнадцатеричной системе счисления вместо (полученных в десятичной системе счисления) последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. Полученное число является записью исходного числа в шестнадцатеричной системе счисления.
Перевод 10→16
=> 143910=59F16
Другие системы счисления:
- двоичная (цифры:0-1);
- троичная (цифры:0-2);
- четверичная (цифры:0-3);
- пятеричная (цифры:0-4);
- шестеричная (цифры:0-5);
- семеричная (цифры:0-6);
- восьмеричная (цифры:0-7);
- девятеричная (цифры:0-8);
- десятичная (цифры:0-9);
- одиннадцатиричная (цифры:0-9,A);
- одиннадцатиричная специальная (цифры:0-9,A);
- двенадцатеричная (цифры:0-9,A-B);
- тринадцатеричная (цифры:0-9,A-C);
- четырнадцатеричная (цифры:0-9,A-D);
- пятнадцатеричная (цифры:0-9,A-E);
- шестнадцатеричная (цифры:0-9,A-F).
