СМО замкнутая n-канальная без очереди — различия между версиями
м |
м |
||
| (не показана 21 промежуточная версия этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | [[файл:СМОn0n.png|thumb|300| | + | [[файл:СМОn0n.png|thumb|300|СМО замкнутая n-канальная без очереди]] |
| − | '''[[СМО замкнутая с | + | '''[[СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками|СМО замкнутая]] [[СМО n-канальная без очереди|n-канальная без очереди]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть '''n'''-каналов, '''n'''-источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. |
Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в '''n'''-раз, чем поток заявок от одного источника. | Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в '''n'''-раз, чем поток заявок от одного источника. | ||
Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. | Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. | ||
| Строка 6: | Строка 6: | ||
Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. | Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. | ||
Максимальное число заявок в системе равно числу каналов. | Максимальное число заявок в системе равно числу каналов. | ||
| + | == Обозначения == | ||
| + | '''n''' – число каналов обслуживания; | ||
| + | |||
| + | '''m''' – число мест в очереди; | ||
| + | |||
| + | '''λ''' – интенсивность простейшего потока заявок; | ||
| + | |||
| + | '''μ''' – интенсивность простейшего потока обслуживания. | ||
== Описание модели == | == Описание модели == | ||
На вход '''n'''-канальной СМО поступает поток заявок от '''n'''-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | На вход '''n'''-канальной СМО поступает поток заявок от '''n'''-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | ||
| Строка 22: | Строка 30: | ||
== Граф состояний == | == Граф состояний == | ||
<!--[[файл:СМО91.JPG]]--> | <!--[[файл:СМО91.JPG]]--> | ||
| − | '''М/М/n/0/n''' – | + | '''М/М/n/0/n''' – СМО замкнутая n-канальная без очереди |
[[файл:СМОn0n.png]] | [[файл:СМОn0n.png]] | ||
| Строка 33: | Строка 41: | ||
'''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, они обслуживаются '''2'''-каналами, '''(n-2)'''-источников заявок; | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется '''2'''-заявки, они обслуживаются '''2'''-каналами, '''(n-2)'''-источников заявок; | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
'''…'''; | '''…'''; | ||
| Строка 52: | Строка 52: | ||
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | ||
| − | [[файл:СМО92.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО92.JPG]]--> |
| + | [[файл:СДУn0n.png]] | ||
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | ||
| − | + | == Система линейных уравнений == | |
Система уравнений принимает вид: | Система уравнений принимает вид: | ||
| − | [[файл:СМО93.JPG]] | + | <!--[[файл:СМО93.JPG]]--> |
| + | [[файл:СЛУn0n.png]] | ||
Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,n'''), получаем упрощённый вид системы. | Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,n'''), получаем упрощённый вид системы. | ||
| + | == Решение системы линейных уравнений == | ||
| + | Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,…,p<sub>n</sub>'''. | ||
| − | + | <!--[[файл:СМО94.JPG]] [[файл:СМО95.JPG]]--> | |
| − | + | [[файл:СЛУn0n01.png]] | |
| − | [[файл:СМО94.JPG]] | ||
| − | |||
| − | [[файл:СМО95.JPG]] | ||
В результате получаем решение системы: | В результате получаем решение системы: | ||
| − | + | <!--[[файл:СМО96.JPG]]--> | |
| − | [[файл:СМО96.JPG]] | + | [[файл:СЛУn0n02.png]] |
| + | *Заметим, что при '''n>0,m=0,λ<sub>i-1</sub>=(n-i+1)λ,μ<sub>i</sub>=iμ,i=1,n''' [[система массового обслуживания]] становится '''СМО замкнутой n-канальной без очереди'''. | ||
== Основные характеристики системы == | == Основные характеристики системы == | ||
[[файл:СМО97.JPG]] | [[файл:СМО97.JPG]] | ||
| − | *Заметим, что при '''n=1''' СМО замкнутая без очереди становится [[Одноканальная СМО замкнутая без очереди|одноканальной]]. | + | *Заметим, что при '''n=1''' СМО замкнутая n-канальная без очереди становится [[Одноканальная СМО замкнутая без очереди|одноканальной]]. |
== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] == | == [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] == | ||
{{Список СМО}} | {{Список СМО}} | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
| − | * | + | *Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.125-126. |
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | [[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | ||
Текущая версия на 04:51, 28 сентября 2025
СМО замкнутая n-канальная без очереди — это система массового обслуживания, в которой есть n-каналов, n-источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в n-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Максимальное число заявок в системе равно числу каналов.
Содержание
Обозначения
n – число каналов обслуживания;
m – число мест в очереди;
λ – интенсивность простейшего потока заявок;
μ – интенсивность простейшего потока обслуживания.
Описание модели
На вход n-канальной СМО поступает поток заявок от n-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.
После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/n/0/n – СМО замкнутая n-канальная без очереди
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, n-источников заявок;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом, (n-1)-источников заявок;
S2 – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами, (n-2)-источников заявок;
…;
Sn-2 – в системе имеется (n-2)-заявок, они обслуживаются (n-2)-каналами, 2-источника заявок;
Sn-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами, 1-источник заявок;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, источников заявок нет.
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система линейных уравнений
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n), получаем упрощённый вид системы.
Решение системы линейных уравнений
Решим систему относительно p0,p1,p2,…,pn.
В результате получаем решение системы:
- Заметим, что при n>0,m=0,λi-1=(n-i+1)λ,μi=iμ,i=1,n система массового обслуживания становится СМО замкнутой n-канальной без очереди.
Основные характеристики системы
- Заметим, что при n=1 СМО замкнутая n-канальная без очереди становится одноканальной.
Другие СМО:
- СМО n-канальная без очереди;
- СМО n-канальная без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
- СМО n-канальная без очереди и со случайным результатом обслуживания;
- СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
- СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
- СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
- СМО n-канальная с m-очередью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
- СМО n-канальная с m-очередью и со случайным результатом обслуживания;
- СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
- СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания;
- СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
- СМО n-канальная с бесконечной очередью;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с частичной взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с частичной взаимопомощью.
Ссылки
- Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.125-126.
