СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с взаимопомощью

СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с взаимопомощью

СМО замкнутая n-канальная с m-очередью , с k-источниками и с взаимопомощью — это система массового обслуживания, в которой есть n-каналов, m-мест в очереди, k-источников заявок (k>n+m) и полная взаимопомощь между каналами. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в k-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание всеми каналами. Если заявка приходит, в момент, когда число заявок в системе меньше, чем число каналов, то она немедленно поступает на обслуживание, причём все каналы распределяются между заявками. Если заявка приходит, в момент, когда число заявок в системе равно или больше числа каналов, то она встаёт в очередь и ждёт обслуживания. Если заявка приходит, в момент, когда число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди, то она игнорируется. Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди.

Обозначения

n – число каналов обслуживания;

m – число мест в очереди;

λ – интенсивность простейшего потока заявок;

μ – интенсивность простейшего потока обслуживания.

Описание модели

На вход n-канальной СМО поступает поток заявок от k-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания каналы освобождаются.

Если заявка приходит, в момент, когда число заявок в системе меньше, чем число каналов, то она немедленно поступает на обслуживание, причём все каналы распределяются между заявками.

Если заявка приходит, в момент, когда число заявок в системе равно или больше числа каналов, то она встаёт в очередь и ждёт обслуживания.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе все каналы занятыми, и все места в очереди занятыми, то она игнорируется данной системой.

Заявки дополнительных источников не обслуживаются в данной системе, и «восстанавливаются» другими системами.

Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/n/m/k – СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с взаимопомощью.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, k-источников заявок;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается n-каналами, (k-1)-источников заявок;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются n-каналами, (k-2)-источников заявок;

…;

S_n-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются n-каналами, (k-n+1)-источников заявок;

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет, (k-n)-источников заявок;

S_n+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а 1-заявка в очереди, (k-n-1)-источников заявок;

…;

S_n+m-2 – в системе имеется (n+m-2)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-2)-заявок в очереди, (k-n-m+2)-источников заявок;

S_n+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-1)-заявок в очереди, (k-n-m+1)-источников заявок;

S_n+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок в очереди, (k-n-m)-источников дополнительных, заявки которых не обслуживаются.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система линейных уравнений

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.

Решение системы линейных уравнений

Решим систему относительно p₀,p₁,p₂,…,p_n+m.

В результате получаем решение системы: Файл:СЛУnmkn02.png

• Заметим, что при n>0,m>0,λ_i-1=(k-i+1)λ,μ_i=nμ,i=1,n+m система массового обслуживания становится СМО замкнутой n-канальной с m-очередью, с k-источниками и с взаимопомощью.

Другие СМО:

1. СМО n-канальная без очереди;
2. СМО n-канальная без очереди и с ограниченным временем обслуживания;
3. СМО n-канальная без очереди и со случайным результатом обслуживания;
4. СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
5. СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
6. СМО n-канальная без очереди и с частичной взаимопомощью;
7. СМО с бесконечным числом каналов;
8. СМО n-канальная с m-очередью;
9. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания;
10. СМО n-канальная с m-очередью и со случайным результатом обслуживания;
11. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
12. СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем обслуживания и ожидания;
13. СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
14. СМО n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
15. СМО n-канальная с бесконечной очередью;
16. СМО замкнутая n-канальная без очереди;
17. СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
18. СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с взаимопомощью;
19. СМО замкнутая n-канальная без очереди, с k-источниками и с частичной взаимопомощью;
20. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
21. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
22. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с частичной взаимопомощью;
23. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками;
24. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с взаимопомощью;
25. СМО замкнутая n-канальная с m-очередью, с k-источниками и с частичной взаимопомощью.