СМО замкнутая n-канальная с m-очередью

СМО замкнутая n-канальная с m-очередью

СМО замкнутая n-канальная с m-очередью — это система массового обслуживания, в которой есть n-каналов, m-мест в очереди, (n+m)-источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в (n+m)-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она становится в очередь и ожидает освобождения канала, который её может обслужить. Максимальное число заявок в системе равно сумме числа каналов и мест в очереди.

Описание модели

На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает поток заявок от (n+m)-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.

Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

М/М/n/m/n+m – СМО замкнутая n-канальная с m-очередью.

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, (n+m)-источников заявок;

S₁ – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом, (n+m-1)-источников заявок;

S₂ – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами, (n+m-2)-источников заявок;

…;

S_n-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами, (m+1)-источников заявок;

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет, m-источников заявок;

S_n+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а 1-заявка в очереди, (m-1)-источников заявок;

…;

S_n+m-2 – в системе имеется (n+m-2)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-2)-заявок в очереди, 2-источника заявок;

S_n+m-1 – в системе имеется (n+m-1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (m-1)-заявок в очереди, 1-источник заявок;

S_n+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок в очереди, источников заявок нет;

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p₀,p₁,…,p_n+m.

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

• Заметим, что при n=1 СМО замкнутая n-канальная с m-очередью становится одноканальной.

Другие СМО:

• СМО n-канальная без очереди;
• СМО n-канальная с m-очередью;
• СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
• СМО с бесконечным числом каналов;
• СМО n-канальная с бесконечной очередью;
• СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
• СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
• СМО замкнутая n-канальная без очереди;
• СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
• СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
• СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками.

Ссылки

• Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, М.,1969.