СМО замкнутая n-канальная без очереди — различия между версиями
м |
м |
||
| (не показаны 4 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 48: | Строка 48: | ||
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | ||
| − | + | == Система линейных уравнений == | |
Система уравнений принимает вид: | Система уравнений принимает вид: | ||
| − | |||
<!--[[файл:СМО93.JPG]]--> | <!--[[файл:СМО93.JPG]]--> | ||
[[файл:СЛУn0n.png]] | [[файл:СЛУn0n.png]] | ||
Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,n'''), получаем упрощённый вид системы. | Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,n'''), получаем упрощённый вид системы. | ||
| + | == Решение системы линейных уравнений == | ||
| + | Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,p<sub>2</sub>,…,p<sub>n</sub>'''. | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
<!--[[файл:СМО94.JPG]] [[файл:СМО95.JPG]]--> | <!--[[файл:СМО94.JPG]] [[файл:СМО95.JPG]]--> | ||
[[файл:СЛУn0n01.png]] | [[файл:СЛУn0n01.png]] | ||
В результате получаем решение системы: | В результате получаем решение системы: | ||
| − | |||
| − | |||
<!--[[файл:СМО96.JPG]]--> | <!--[[файл:СМО96.JPG]]--> | ||
[[файл:СЛУn0n02.png]] | [[файл:СЛУn0n02.png]] | ||
| Строка 77: | Строка 71: | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
*Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | *Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | ||
| + | *Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.125-126. | ||
[[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | [[Категория:Математика]][[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] | ||
Текущая версия на 17:45, 3 сентября 2025
СМО замкнутая n-канальная без очереди — это система массового обслуживания, в которой есть n-каналов, n-источников заявок. Поток заявок каждого источника имеет одинаковую интенсивность. Первоначальный поток заявок имеет интенсивность большую в n-раз, чем поток заявок от одного источника. Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на интенсивность потока от одного источника. Если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно поступает на обслуживание одним любым каналом. Если заявка приходит, в момент, когда свободен хотя бы один канал, то она немедленно поступает на обслуживание одним из свободных каналов. Максимальное число заявок в системе равно числу каналов.
Содержание
Описание модели
На вход n-канальной СМО поступает поток заявок от n-источников, причём каждый источник заявок даёт простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.
После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Каждое поступление заявки, снижает интенсивность входного потока на поток от одного источника.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
М/М/n/0/n – СМО замкнутая n-канальная без очереди
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны, n-источников заявок;
S1 – в системе имеется 1-заявка, она обслуживается 1-каналом, (n-1)-источников заявок;
S2 – в системе имеется 2-заявки, они обслуживаются 2-каналами, (n-2)-источников заявок;
…;
Sn-2 – в системе имеется (n-2)-заявок, они обслуживаются (n-2)-каналами, 2-источника заявок;
Sn-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами, 1-источник заявок;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, источников заявок нет.
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система линейных уравнений
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n), получаем упрощённый вид системы.
Решение системы линейных уравнений
Решим систему относительно p0,p1,p2,…,pn.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
- Заметим, что при n=1 СМО замкнутая n-канальная без очереди становится одноканальной.
Другие СМО:
- СМО n-канальная без очереди;
- СМО n-канальная без очереди и со случайным выбором канала;
- СМО n-канальная с m-очередью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с ограниченным временем ожидания;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО n-канальная с бесконечной очередью;
- СМО n-канальная без очереди и с взаимопомощью;
- СМО n-канальная с m-очередью и с взаимопомощью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью;
- СМО замкнутая n-канальная без очереди и с k-источниками;
- СМО замкнутая n-канальная с m-очередью и с k-источниками.
Ссылки
- Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
- Л.Клейнрок. Теория массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1979,стр.125-126.
